Zápisky z předmětu Diferenciální rovnice

Předmět se zabývá nejdůležitějšími rovnicemi, které se dají řešit analyticky.

V knize Matematika II (Bratislava) je spousta příkladů, které se mohou objevit v zápočtovém testu nebo zkoušce!

Zkouska: písemná část (tři příklady, 90 minut, nutno získat dva body), ústní část (známku z písemné známky lze zlepšit o stupeň, tedy dvě písmena)

Řešení obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu

Definice. Nechť

ℐ \subset ℝ

je omezený interval a

ℳ \in 2^{ℐ \to ℝ}

. Říkáme, že

ℳ

obsahuje funkce stejně omezené na

ℐ

, pokud

(\exists K \in ℝ^{+}) (\forall f \in ℳ) (\forall x \in ℐ) (| f (x) | \leq K)

Definice. Nechť

ℐ \subset ℝ

je omezený interval a

ℳ \in 2^{ℐ \to ℝ}

. Říkáme, že

ℳ

obsahuje funkce stejně spojité na

ℐ

, pokud

(\forall ε \in ℝ^{+}) (\exists δ \in ℝ^{+}) (\forall x_{1}, x_{2} \in ℐ, | x_{1} - x_{2} | < δ) (\forall f \in ℳ) (| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq ε)

Věta (Bolzano-Weierstraß). Každá posloupnost bodů z uzavřeného intervalu má konvergentní podposloupnost.

Důkaz. Viz ANA3.

Věta (Arzelà). Nechť

ℐ \subset ℝ

je omezený interval a

ℳ

je množina stejně omezených a stejně spojitých funkcí. Potom každá posloupnost

{g_{n}}_{n = 1}^{\infty} \in ℳ^{ω}

má podposloupnost stejnoměrně konvergentní na

ℐ

Důkaz. Nechť

a, b

jsou koncové body intervalu

ℐ

. Budeme půlením intervalu konstruovat body

\begin{aligned} x_{1} & ≔ \frac{a + b}{2} \\ x_{2} & ≔ \frac{a + x_{1}}{2}, x_{3} ≔ \frac{x_{1} + b}{2} \\ x_{4} & ≔ \frac{a + x_{2}}{2}, x_{5} ≔ \frac{x_{2} + x_{1}}{2}, x_{6} ≔ \frac{x_{1} + x_{3}}{2}, x_{7} ≔ \frac{x_{3} + b}{2} \\ ⋮ \end{aligned}

Nechť

𝒫 ≔ {x_{n} | n \in ℕ^{+}}

. Tato množina má zřejmě vlastnost, že v každé iteraci se zhušťuje, tedy

(\forall δ \in ℝ^{+}) (\exists k \in ℕ_{0}) (\exists m, n \in ℕ, 2^{k} \leq m < n < 2^{k + 1}) (| x_{m} - x_{n} | < δ)

a zároveň je hustá na

ℐ

. Uvažujme nyní nějakou posloupnost

{g_{n}}_{n = 1}^{\infty}

a uvažujme body

g_{n} (𝒫)

. Z definice stejné omezenosti leží hodnoty posloupnosti

{g_{n} (x_{1})}_{n = 1}^{\infty}

v intervalu

[- K, K]

. Podle Bolzano-Weierstrassovy věty má konvergentní podposloupnost

{g_{n}^{(1)} (x_{1})}_{n = 1}^{\infty}

. Analogicky pro každé

k

označíme

{g_{n}^{(k)} (x_{k})}_{n = 1}^{\infty}

konvergentní podposloupnost posloupnosti

{g_{n}^{(k - 1)} (x_{k})}_{n = 1}^{\infty}

. Taková posloupnost potom bude konvergovat i ve všech bodech

x_{i}, i \leq k

. Nyní budeme chtít ukázat, že posloupnost

{g_{n}^{(n)} (x)}

konverguje stejnoměrně na

ℐ

. K tomu použijeme Bolzano-Cauchyovu podmínku:

(\forall ε \in ℝ^{+}) (\exists n_{0} \in ℕ) (\forall n \in ℕ, n > n_{0}) (\forall p \in ℕ) (\forall x \in ℐ) (| g_{n + p}^{(n + p)} (x) - g_{n}^{(n)} (x) | < ε)

Použijeme odhad:

\begin{aligned} | g_{n + p}^{(n + p)} (x) - g_{n}^{(n)} (x) | & = | g_{n + p}^{(n + p)} (x) \mp g_{n + p}^{(n + p)} (x_{k}) \pm g_{n}^{(n)} (x_{k}) - g_{n}^{(n)} (x) | \\ \leq | g_{n + p}^{(n + p)} (x) - g_{n + p}^{(n + p)} (x_{k}) | + | g_{n + p}^{(n + p)} (x_{k}) - g_{n}^{(n)} (x_{k}) | + | g_{n}^{(n)} (x_{k}) - g_{n}^{(n)} (x) | \end{aligned}

Druhý člen odhadneme pomocí bodové konvergence v

x_{k}

(\forall ε \in ℝ^{+}) (\exists n_{k} \in ℕ) (\forall n \in ℕ, n \geq n_{k}) (\forall p \in ℕ) (| g_{n + p}^{(n + p)} (x_{k}) - g_{n}^{(n)} (x_{k}) | < \frac{ε}{3})

U prvního a třetího členu využijeme stejnou spojitost:

(\forall ε \in ℝ^{+}) (\exists δ \in ℝ^{+}) (\forall n, p \in ℕ) (\forall x^{'}, x^{''} \in ℐ, | x^{'} - x^{''} | < δ) (| g_{n + p}^{(n + p)} (x^{'}) - g_{n + p}^{(n + p)} (x^{''}) | < \frac{ε}{3} \land | g_{n}^{(n)} (x^{'}) - g_{n}^{(n)} (x^{''}) | < \frac{ε}{3})

Ze „zmenšovací“ vlastnosti

𝒫

plyne

(\forall δ \in ℝ^{+}) (\exists m \in ℕ) (\forall x \in ℐ) (\exists k \in \hat{m}) (| x - x_{k} | < δ)

Pokud tedy použijeme odhad pro druhý člen pro všechna

k \in \hat{m}

a vybereme nejvyšší

n_{k}

, Bolzano-Cauchyova podmínka bude splněna, z čehož plyne stejnoměrná konvergence.

Poznámka. Tato věta se hodí k vyšetřování existence řešení počáteční úlohy

y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}

Příklad. Potřebuje japonský student na hokeji čísla

π

e

? Student drží válcovou nádobu. Ke spočtení objemu nádoby je potřeba

π

. Pro využití

e

vyřešíme úlohu o rozpadu pěny nad nápojem.

y^{'} = - α y

y (x_{0}) = y_{0}

Eulerova myšlenka: Interval

ℝ_{0}^{+}

diskretizujeme body

x_{j} ≔ j h

. Nechť

y_{j} ≔ y (x_{j})

. Aproximujeme

y^{'} (x_{j}) \approx \frac{y_{j + 1} - y_{j}}{h}

. Tím získáváme rovnici

\begin{aligned} \frac{y_{j + 1} - y_{j}}{h} & = - α y_{j} \\ y_{j + 1} & = (1 - α h) y_{j} \\ y_{j} & = {(1 - α h)}^{j} y_{0} \end{aligned}

Z toho obecně získáváme vyjádření

y (x) \approx {(1 - α \frac{x}{m})}^{m} y_{0} = {(1 - \frac{α x}{m})}^{\frac{m}{α x} α x} ≕ {({(1 - \frac{1}{p_{n}})}^{p_{n}})}^{α x} \to e^{- α x}

Pomocí separace proměnných to jde samozřejmě mnohem jednodušeji, ale tady je hezky vidět, kde se tam vezme

e

Věta (Peano). Nechť

Γ \subset ℝ^{2}

je oblast,

f : Γ \to ℝ, f \in 𝒞 (Γ), [x_{0}, y_{0}] \in Γ

. Pak existuje

a_{0} \in ℝ^{+}

a zobrazení

φ : [x_{0} - a_{0}, x_{0} + a_{0}] \to ℝ

, které na

(x_{0} - x_{0}, x_{0} + a_{0})

řeší úlohu

y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}

Důkaz. Jelikož

Γ

je oblast, najdeme takové

ρ_{0}

, že

B ≔ B_{(x_{0}, y_{0})} (ρ_{0}) \subset Γ

. Potom

f

je spojitá na kompaktní množině

B

, a tedy

(\exists M \in ℝ^{+}) (\forall [x, y] \in B) (| f (x, y) | \leq M)

B

nacpeme uzavřený obdélník

⟨ x_{0} - a_{0}, x_{0} + a_{0} ⟩ \times ⟨ y_{0} - b_{0}, y_{0} + b_{0} ⟩

takový, aby

a_{0} M \leq b_{0}

Interval

⟨ x_{0}, x_{0} + a_{0} ⟩

rozdělíme na

m

částí délky

h ≔ \frac{a_{0}}{m}

. Dělicí body označíme

x_{j} ≔ x_{0} + j h

. Použijeme Eulerovu aproximaci

f (x_{j}, y_{j}) = y^{'} (x_{j}) \approx \frac{y (x_{j + 1}) - y (x_{j})}{h}

y_{j + 1} \approx y_{j} + h f (x_{j}, y_{j})

Body

(x_{j}, y_{j})

proložíme Eulerovou lomenou čarou:

φ_{m} (x) ≔ y_{j} + (x - x_{j}) f (x_{j}, y_{j}), x \in ⟨ x_{j}, x_{j + 1} ⟩

Analogicky můžeme funkci

φ_{m}

definovat na

⟨ x_{0} - a_{0}, x_{0} ⟩

. Dokážeme, že posloupnost

{φ_{m}}_{m = 1}^{\infty}

je stejně omezená. Nechť

x \in ⟨ x_{k}, x_{k + 1} ⟩

, potom

\begin{aligned} | φ_{m} (x) - y_{0} | & \leq | φ_{m} (x) - y_{k} | + | y_{k} - y_{k + 1} | + \dots + | y_{1} - y_{0} | \\ = | (x - x_{k}) f (y_{k}, x_{k}) | + | h f (x_{k - 1}, y_{k - 1}) | + \dots + | h f (x_{0}, y_{0}) | \\ \leq (| x - x_{k} | + h + \dots + h) M \\ = | x - x_{0} | M \leq a_{0} M \leq b_{0} \end{aligned}

(K použitému odhadu

| f (y_{j}, x_{j}) | < M

si musíme rozmyslet, že tyto body leží v obdélníku, což plyne z konstrukce.) Nyní dokážeme, že posloupnost je stejně spojitá, tedy

(\forall ε \in ℝ^{+}) (\exists δ \in ℝ^{+}) (\forall x^{'}, x^{''} \in ⟨ x_{0} - a_{0}, x_{0} + a_{0} ⟩, | x^{'} - x^{''} | < δ) (\forall m \in ℕ) (| a_{m} (x^{'}) - a_{m} (x^{''}) | < ε)

Nechť bez újmy na obecnosti

x^{'} < x^{''}, x^{'} \in ⟨ x_{j}, x_{j + 1} ⟩ x^{''} \in ⟨ x_{j + p}, x_{j + p + 1} ⟩

\begin{aligned} | φ_{m} (x^{''}) - φ_{m} (x^{'}) | & \leq | φ_{m} (x^{''}) - y_{j + p} | + | y_{j + p} - y_{j + p - 1} | + \dots + | y_{j + 1} - φ_{m} (x^{'}) | \\ = | x^{''} - x_{j + p} | | f (x_{j + p}, y_{j + p}) | + h | f (x_{j + p - 1}, y_{j + p - 1}) | + \dots + | x_{j + 1} - x^{'} | | f (x_{j}, y_{j}) | \\ \leq (x^{''} - x^{'}) M \end{aligned}

Tedy stačí zvolit

δ ≔ \frac{ε}{M}

. Nyní již můžeme použít Arzelovu větu. Ta nám dá podposloupnost

{φ_{m^{'}}}

takovou, že

φ_{m^{'}} ⇉ φ

a tato funkce

φ

je spojitá na

⟨ x_{0} - a_{0}, x_{0} + a_{0} ⟩

. Nyní stačí dokázat, že

φ

splňuje tvrzení věty, tedy

(\forall \overline{x} \in (x_{0} - a_{0}, x_{0} + a_{0})) (f (\overline{x}, φ (\overline{x})) = φ^{'} (\overline{x}) = \lim_{\overline{h} \to 0} \frac{φ (\overline{x} + \overline{h}) - φ (\overline{x})}{\overline{h}})

Neboli chceme dokázat

(\forall ε \in ℝ^{+}) (\forall \overline{x} \in (x_{0} - a_{0}, x_{0} + a_{0})) (\exists δ \in ℝ^{+}) (\forall \overline{h} \in (- δ, δ)) (| \frac{φ (\overline{x} + \overline{h}) - φ (\overline{x})}{h} - f (\overline{x}, φ (\overline{x})) | < ε)

Jelikož o

φ

skoro nic nevíme, budeme tvrzení ověřovat pro

φ_{m^{'}}

a následně ho zlimitíme. Nechť opět bez újmy na obecnosti

\overline{h} > 0, \overline{x} \in ⟨ x_{j}, x_{j + 1} ⟩, \overline{x} + \overline{h} \in ⟨ x_{j + p}, x_{j + p + 1} ⟩

\begin{aligned} | φ_{m^{'}} (\overline{x} + \overline{h}) - φ_{m^{'}} (\overline{x}) - \overline{h} f (\overline{x}, φ_{m^{'}} (\overline{x})) | \\ = | (\overline{x} + \overline{h} - x_{j + p}) f (x_{j + p}, y_{j + p}) + h f (x_{j + p - 1}, y_{j + p - 1}) + \dots + (h + x_{j} - \overline{x}) f (x_{j}, y_{j}) | \\ = | (\overline{x} + \overline{h} - x_{j + p}) f (x_{j + p}, y_{j + p}) + \dots + (x_{j} - \overline{x}) f (x_{j}, y_{j}) - (\overline{x} + \overline{h} - x_{j + p} + h + \dots + h + x_{j + 1} - x) f (\overline{x}, φ_{m^{'}} (\overline{x})) | \\ = | (\overline{x} + \overline{h} - x_{j + p}) (f (x_{j + p}, y_{j + p}) - f (\overline{x}, φ_{m^{'}} (\overline{x}))) + h (f (x_{j + p - 1}, y_{j + p - 1}) - f (\overline{x}, φ_{m^{'}} (\overline{x}))) + \dots + (x_{j + 1} - \overline{x}) (f (x_{j}, y_{j}) - f (\overline{x}, φ_{m^{'}} (\overline{x}))) | \end{aligned}

Jelikož

f

je spojitá na kompaktní množině

B

, je tam i stejnoměrně spojitá, tedy

(\forall ε \in ℝ^{+}) (\exists δ_{0} \in ℝ^{+}) (\forall [\tilde{x}, \tilde{y}], [\hat{x}, \hat{y}] \in B, | \tilde{x} - \hat{x} | < δ_{0} \land | \tilde{y} - \hat{y} | < δ_{0}) (| f (\tilde{x}, \tilde{y}) - f (\hat{x}, \hat{y}) | < ε)

Tedy vsechny rozdíly v závorkách jsou menší než

ε

, což nám umožní dokončit odhadování:

| φ_{m^{'}} (\overline{x} + \overline{h}) - φ_{m} (\overline{x}) - \overline{h} f (\overline{x}, φ_{m^{'}} (\overline{x})) | \leq (| \overline{x} + \overline{h} - x_{j + p} | + h + \dots + h + | x_{j + 1} - \overline{x} |) ε = ε \overline{h}

Tuto nerovnost zlimitíme a máme hotovo!

Příklad. Mějme diferenciální rovnici

y^{'} = \sqrt[3]{y^{2}}, y (0) = 0

Do Peanovy věty vezmeme

f (x, y) ≔ \sqrt[3]{y^{2}}, Γ ≔ ℝ^{2}

a snadno ověříme, že předpoklady jsou splněny. Tedy rovnice má řešení. Toto řešení dokonce umíme najít metodou separace proměnných. Ověříme, že

y = 0

je řešení, což nám umožní dělit:

\frac{y^{'}}{\sqrt[3]{y^{2}}} = 1

3 \sqrt[3]{y} = x + C

y = {\frac{x}{3}}^{3}

Našli jsme tedy dokonce dvě řešení, což Peanova věta nepopírá.

Příklad. Mějme diferenciální rovnici

y^{'} = sgn (y), y (x_{0}) = y_{0}

Funkce

f (x, y) ≔ sgn (y)

není spojitá v

y = 0

, tudíž není možné použít Peanovu větu. Budeme muset rozlišit několik případů:

Je-li $y_{0} = 0$ , máme řešení $y (x) = 0, x \in ℝ$ .
Je-li $y_{0} ≷ 0$ , máme řešení $y (x) = \pm x \mp x_{0} + y_{0}, x \in (x_{0} \mp y_{0}, \infty)$ .

Řešení tedy existuje, přestože předpoklady Peanovy věty nejsou splněny.

Věta (Osgood). Nechť k funkci

f = f (x, y)

v úloze

y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}

existuje spojitá funkce

Φ : ℝ_{0}^{+} \to ℝ_{0}^{+}

taková, že

$Φ (s) = 0 ⟺ s = 0$
$(\forall [x, y_{1}], [x, y_{2}] \in Γ) (| f (x, y_{1}) - f (x, y_{2}) | \leq Φ (| y_{1} - y_{2} |))$
$(\exists c \in ℝ^{+}) (\lim_{ε \to 0^{+}} \int_{ε}^{c} \frac{d u}{Φ (u)} = \infty)$

Potom má rovnice nejvýše jedno řešení.

Důkaz. Nechť funkce

φ = φ (x)

řeší rovnici na

(α_{1}, β_{1}) ∋ x_{0}

ψ = ψ (x)

řeší rovnici na

(α_{2}, β_{2}) ∋ x_{0}

. Odečtením rovnic dostáváme pro

x \in (a_{1}, b_{1}) \cap (a_{2}, b_{2}) ≕ I

φ^{'} (x) - ψ^{'} (x) = f (x, φ (x)) - f (x, ψ (x)), φ (x_{0}) - ψ (x_{0}) = 0

Označme

z (x) ≔ φ (x) - ψ (x)

, potom

z^{'} (x) = f (x, φ (x)) - f (x, ψ (x)), z (x_{0}) = 0

Předpokládejme pro spor, že

φ \neq ψ

. Potom bez újmy na obecnosti existuje

x_{1} \in I

takové, že

z (x_{1}) > 0

a k němu

x^{'}

takové, že

z (x^{'}) = 0, (\forall x \in (x^{'}, x_{1})) (z (x) > 0)

z^{'} (x) = f (x, φ (x)) - f (x, ψ (x)) \leq | f (x, φ (x)) - f (x, ψ (x)) | \leq Φ (| φ (x) - ψ (x) |) = Φ (| z (x) |)

Speciálně pro

x \in (x^{'}, x_{1} ⟩

z^{'} (x) \leq Φ (z (x))

, tedy

\frac{z^{'} (x)}{Φ (z (x))} \leq 1

Vezmeme nějaké

x^{''} \in (x^{'}, x_{1})

a zintegrujeme:

\int_{x^{''}}^{x_{1}} \frac{z^{'} (x)}{Φ (z (x))} d x \leq x_{1} - x^{''}

Substitujeme-li

u ≔ z (x)

, dostáváme

\int_{z (x^{''})}^{z (x_{1})} \frac{d u}{Φ (u)} \leq x_{1} - x^{''}

\lim_{x^{''} \to {x^{'}}^{+}} \int_{z (x^{''})}^{z (x_{1})} \frac{d u}{Φ (u)} \leq x_{1} - x^{'} < \infty

Podle předpokladu potom musí být

(\forall x \in I) (z (x) = 0)

, což dokazuje tvrzení věty.

Poznámka. Příklady vhodných funkcí

Φ

$Φ (u) ≔ K u, K \in ℝ^{+}$ $\int_{ε}^{c} \frac{d u}{Φ (u)} = \frac{1}{K} \ln \frac{c}{ε} \to \infty$ Funguje pro lipschitzovské funkce: $| f (x, y_{1}) - f (x, y_{2}) | \leq K | y_{1} - y_{2} |$
$Φ (u) ≔ K u | \ln u |$ $\int_{ε}^{c} \frac{d u}{Φ (u)} = \frac{1}{K} \ln \frac{\ln c}{\ln ε} \to \infty$
$Φ (u) ≔ K u | \ln u | | \ln | \ln u | |$ $\int_{ε}^{c} \frac{d u}{Φ (u)} = \frac{1}{K} \ln \frac{\ln | \ln c |}{\ln | \ln ε |} \to \infty$

Definice. Funkce

f = f (x, y)

je lokálně lipschitzovská na

Γ

vůči argumentu

y

, pokud

(\forall [x_{0}, y_{0}] \in Γ) (\exists H_{[x_{0}, y_{0}]}) (\exists K \in ℝ^{+}) (\forall [x, y_{1}], [x, y_{2}] \in H_{[x_{0}, y_{0}]}) (| f (x, y_{1}) - f (x, y_{2}) | \leq K | y_{1} - y_{2} |)

Věta. Pokud

\partial_{y} f (x, y) \in C (Γ)

, potom

f (x, y)

je lokálně lipschitzovská vůči

y

Důkaz. Pro nějaké okolí vezměme kouli

B ≔ B_{[x_{0}, y_{0}]} (ρ_{0}) \subset H_{[x_{0}, y_{0}]}

. Pro dané dva body

[x, y_{1}], [x, y_{2}] \in B

označme

g (t) ≔ f (x, y_{1} + t (y_{2} - y_{1}))

Podle věty o přírůstku funkce máme takové

ξ

, že

g (1) - g (0) = f (x, y_{2}) - f (x, y_{1}) = g^{'} (ξ) = \partial_{y} f (x, y_{0} + ξ (y_{2} - y_{1})) (y_{2} - y_{1})

U Peanovy věty je problém, že nám zaručuje řešení pouze lokálně. Co kdyby nás zajímalo, jestli existuje globální řešení, tedy na co největším intervalu? To je úloha o globální existenci řešení.

Použijeme taktiku prodlužování řešení. Buďme ve své oblíbené kružnici. Víme, že tam najdeme nějaké lokální řešení $φ$ na intervalu $(x_{0} - a_{0}, x_{0} + a_{0})$ . Bez újmy na obecnosti budeme prodlužovat doprava. Vezmeme bod $x_{1} ≔ x_{0} + a_{1}, y_{1} ≔ φ (x_{1})$ a aplikujeme na něj znovu Peanovu větu. Tím vznikne řešení na nějakém intervalu $(x_{1} - a_{1}, x_{1} + a_{1})$ . To se ale v levé části nemusí shodovat s původním řešením, takže si z něj vezmeme jen pravou část. A tak dále. Tedy obecně $x_{k} ≔ x_{k - 1} + a_{k - 1}, y_{k} ≔ φ (x_{k})$ , pomocí Peanovy věty najdeme řešení $φ_{k}$ a rozšíříme pomocí něj $φ$ .

Otázkou je, co se stane, když toto budeme dělat do nekonečna. Zatím víme:

(\forall k \in ℕ) (a_{k} > 0 \land x_{k + 1} > x_{k} \land [x_{k}, y_{k}] \in Γ)

Jelikož posloupnost ${x_{k}}_{k = 0}^{\infty}$ je monotónní, určitě má limitu, ale jinak o ní moc nevíme.

Definice. Nechť

φ

řeší úlohu

y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}

na intervalu

[α, β], x_{0} \in (α, β)

. Říkáme, že řešení

φ

je prodloužitelné doprava (analogicky doleva), pokud existuje funkce

φ_{1}

řešící rovnici na

[α_{1}, β_{1}], x_{0} \in (α_{1}, β_{1}), β_{1} > β

(\forall x \in [x_{0}, β]) (φ (x) = φ_{1} (x))

. V opačném případě je neprodloužitelné doprava.

Věta (o vlastnosti neprodloužitelného řešení). Nechť

Γ \subset ℝ^{2}

je oblast,

[x_{0}, y_{0}] \in Γ, f \in 𝒞 (Γ)

. Pak řešení

φ

úlohy

y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}

je neprodloužitelné doprava na intervalu

α, β

, právě když platí alespoň jedna z podmínek:

$β = \infty$
$φ$ je na levém okolí $β$ neomezená
$\lim_{x \to β^{-}} ρ ([x, φ (x)], \partial Γ) = 0$

Důkaz.

(\Leftarrow)

Pro $β = \infty$ je neprodloužitelnost zřejmá.
Nechť $φ$ je neomezená na levém okolí $β$ . Potom nemůže mít v $β$ reálnou limitu, tudíž tam nepůjde spojitě prodloužit.
Nechť pro spor $\lim = 0$ a $φ$ lze prodloužit. To znamená, že je spojitá v $β$ , tudíž můžeme psát $0 = \lim_{x \to β^{-}} ρ ([x, φ (x)], \partial Γ) = ρ (\lim_{x \to β^{-}} [x, φ (x)], \partial Γ) = ρ ([β, φ (β)], \partial Γ)$ Tedy $β, φ (β) \in \partial Γ$ , což je spor s tím, že řešení má být definováno jen uvnitř $Γ$ .

(\Rightarrow)

Nechť neplatí žádná z podmínek. Podle lemmatu, které si dokážeme po této větě, existuje

\lim_{x \to β^{-}} φ (x) \in ℝ

. Můžeme tedy spojitě dodefinovat

φ (β)

. Potom funkce

x \mapsto ρ ([x, φ (x), \partial Γ])

bude také spojitá zleva v

β

, takže tam má limitu a podle předpokladu je tato limita nenulová; označme ji

d_{0}

. To ale znamená, že můžeme v bodě

[β, φ (β)]

můžeme použít Peanovu větu a tím řešení prodloužit.

Lemma. Jestliže platí předpoklady předchozí věty a neplatí žádná ze tří podmínek, potom existuje reálná limita

\lim_{x \to β^{-}} φ (x)

Důkaz. Nechť pro spor limita neexistuje (jelikož

φ

je podle předpokladu omezená na levém okolí

β

, limita nemůže být

\pm \infty

). Označme

Π ≔ {{x_{n}}_{n = 1}^{\infty} \in {(α, β)}^{ω} | x_{n} \to β}

P ≔ \inf {\underset{n \to \infty}{lim inf} φ (x_{n}) | {x_{n}}_{n = 1}^{\infty} \in Π}

Q ≔ \sup {\underset{n \to \infty}{lim sup} φ (x_{n}) | {x_{n}}_{n = 1}^{\infty} \in Π}

Protože limita neexistuje a funkce je omezená, musí být

- \infty < P < Q < \infty

. Vezměme nějakou toleranci

\tilde{ε} \in ℝ^{+}, \tilde{ε} < \frac{Q - P}{e \cdot π}

. Potom z definice infima/suprema

(\exists {{\tilde{x}}_{n}}, {{\tilde{\tilde{x}}}_{n}} \in Π) (lim inf φ ({\tilde{x}}_{n}) \in [P, P + \frac{\tilde{ε}}{2}) \land lim sup φ ({\tilde{\tilde{x}}}_{n}) \in (Q - \frac{\tilde{ε}}{2}, Q])

Z definice

lim inf, lim sup

pak plyne

(\exists {{\tilde{x}}_{n^{'}}}, {{\tilde{\tilde{x}}}_{n^{'}}} v y b r a n \overset{ˊ}{e}) (\exists n_{0} \in ℕ) (\forall n^{'} \in ℕ, n^{'} > n_{0}) (φ ({\tilde{x}}_{n^{'}}) \in [P, P + ε) \land φ ({\tilde{\tilde{x}}}_{n}) \in (Q - ε, Q])

Jelikož

φ

je spojitá funkce, musí nabývat všech hodnot v intervalu

[P + \tilde{ε}, Q - \tilde{ε}]

. Ukážeme, že pro všechna

y_{0} \in [P, Q]

[β, y_{0}]

hromadný bod grafu

φ (x)

. Pro

P, Q

to z definice platí. Nechť tedy

y_{0} \in (P, Q), \tilde{ε} < \frac{\min (Q - y_{0}, y_{0} - P)}{π^{2}}

. Potom z předchozího argumentu s vybranými posloupnostmi platí, že pro nějakou posloupnost

{{\hat{x}}_{n^{'}}} \in Π

platí

φ ({\hat{x}}_{n^{'}}) = y_{0}

. Úsečka

U ≔ {β} \times [P, Q]

neleží celá na

\partial Γ

, protože kdyby tam ležela, graf funkce by se blížil k hranici. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že

[β, y_{0}] \notin \partial Γ

. Díky tomu pro nějaká

δ_{1}, ε

existuje obdélník

D ≔ [β - δ_{1}, β] \times [y_{0} - ε, y_{0} + ε] \subset Γ

. Tento obdélník je zjevně kompaktní, proto je na něm funkce

f

omezená v absolutní hodnotě nějakým číslem

M

. Jistě najdeme posloupnosti

{x_{n}}, {{\overline{x}}_{n}}

konvergující k

β

takové, že

φ (x_{n}) = y_{0} - ε, φ ({\overline{x}}_{n}) = y_{0} + ε

. Od nějakého

n_{0} \in ℕ

jsou

x_{n}, {\overline{x}}_{n} \in [β - δ_{1}, β]

. Podle věty o přírůstku funkce najdeme pro každé

n \geq n_{0}

nějaké

ξ_{n}

takové, že

\begin{aligned} 2 ε & = (y_{0} + ε) - (y_{0} - ε) \\ = φ ({\overline{x}}_{n}) - φ (x_{n}) \\ = φ^{'} (ξ_{n}) ({\overline{x}}_{n} - x_{n}) \\ = f (ξ_{n}, φ (ξ_{n})) ({\overline{x}}_{n} - x_{n}) \\ \leq | f (ξ_{n}, φ (ξ_{n})) | | {\overline{x}}_{n} - x_{n} | \end{aligned}

Jistě od nějakého

n_{1}

bude

| {\overline{x}}_{n} - x_{n} | < \frac{ε}{M}

, takže

2 ε \leq M \cdot \frac{ε}{M} = ε

, což je spor.

Příklad. Řešme rovnici

y^{'} = \cos x, y (x_{0}) = y_{0}

. Řešení je zřejmě

y = \sin x + C_{1}, C_{1} = y_{0} - \sin x_{0}

. Toto řešení zřejmě funguje na

Γ = ℝ^{2}

. Ale co kdybychom ho chtěli jen pro

y \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

, tedy

Γ_{0} ≔ ℝ \times (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

? Potom už nám řešení vždy funguje jen na nějakém malém intervalu a nepůjde prodloužit podle třetího bodu věty.

Takže už umíme poznat, jestli je řešení prodloužitelné, ovšem neumíme zjistit, jestli nějaké neprodloužitelné řešení existuje. Podívejme se znovu na prodlužovací proceduru. Při ní vzniká nějaká ostře rostoucí posloupnost bodů ${x_{n}}$ , kolem kterých budeme prodluzovat.

Věta (o existenci neprodloužitelného řešení). Nechť

Γ \subset ℝ^{2} oblast, f \in 𝒞 (Γ), [x_{0}, y_{0}] \in Γ

(tedy jsou splněny předpoklady Peanovy věty). Potom existuje neprodloužitelné řešení rovnice

y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}

Důkaz. Pomocí Peanovy věty najdeme nějaké řešení a budeme ho postupně prodlužovat pomocí výše zmíněného procesu. Definujme

E_{n} ≔ {[x, y] \in Γ | | x - x_{0} | < n \land | y - y_{0} | < n \land ρ ([x, y], \partial Γ) < \frac{1}{n}}

Zjevně

E_{n}

jsou kompaktní podmnožiny

Γ

a platí

⋃_{n = 1}^{\infty} E_{n} = Γ

. Předpokládejme pro spor, že řešení je prodloužitelné. Potom pro každé

n

najdeme

\hat{x}

takové, že řešení je definované na

[x_{0}, \hat{x}]

[\hat{x}, φ (\hat{x})] \notin E_{n}

. Speciálně existuje

{\hat{x}}_{0}

takové, že

[{\hat{x}}_{0}, φ ({\hat{x}}_{0})] \notin E_{1}

, ale pro nějaké

n_{1} > 1

[{\hat{x}}_{0}, φ ({\hat{x}}_{0})] \in E_{n_{1}}

. Dále existuje

{\hat{x}}_{1} > {\hat{x}}_{0}

takové, že

[{\hat{x}}_{1}, φ ({\hat{x}}_{1})] \notin E_{n_{1}}

, ale pro nějaké

n_{2} > n_{1}

[{\hat{x}}_{1}, φ ({\hat{x}}_{1})] \in E_{n_{2}}

. A tak dále. Posloupnost

{{\hat{x}}_{k}}_{k = 0}^{\infty}

je zjevně ostře rostoucí, takže má limitu

\overline{x} \in ℝ \cup {\infty}

. Snadno dokážeme, že

φ

je definované na

[x_{0}, \overline{x})

: Pokud vezmeme libovolné

x_{L} \in [x_{0}, \overline{x})

, jistě najdeme takové

k

, že

{\hat{x}}_{k} > x_{L}

, a řešení je definované na

[x_{0}, {\hat{x}}_{k}]

, tedy i v

x_{L}

. Jelikož jsme předpokládali, že

φ

je prodloužitelné, máme

x \in ℝ

a z lemmatu víme, že existuje

\lim_{x \to {\overline{x}}^{-}} ≕ \overline{β} \in ℝ

. Nechť

v_{o} ≔ ρ ([\overline{x}, \overline{β}], \partial Γ)

; podle předpokladu

v_{0} > 0

. Tedy existuje

ρ_{0} \in ℝ^{+}

takové, že

B ≔ B_{[\overline{x}, \overline{β}]} (ρ_{0}) \subset Γ

d_{0}

takové, že

ρ (B, \partial Γ) \geq d_{0}

. Jistě také od nějakého

k_{0}

máme

[{\hat{x}}_{k}, φ ({\hat{x}}_{k})] \in B

a od nějakého

k_{1}

máme

\frac{1}{n_{k}} < d_{0}

. Od

k_{2} ≔ \max (k_{0}, k_{1})

bude platit (proč?)

\frac{1}{n_{k}} < d_{0} \land | x_{0} - \overline{x} | + ρ_{0} + | y_{0} - β | < n_{k}

Z toho plyne

| {\hat{x}}_{k} - x_{0} | \leq | {\hat{x}}_{k} - \overline{x} | + | \overline{x} - x_{0} | < ρ_{0} + | \overline{x} - x_{0} | < ρ_{0} + | \overline{x} - x_{0} | < n_{k}

| φ ({\hat{x}}_{k}) - y_{0} | \leq | φ ({\hat{x}}_{k}) - \overline{β} | + | \overline{β} - y_{0} | \leq ρ_{0} + | \overline{β} - y_{0} | < n_{k}

ρ ([{\hat{x}}_{k}, φ ({\hat{x}}_{k})], \partial Γ) \geq d_{0} \geq \frac{1}{n_{k}}

Díky tomu máme

[{\hat{x}}_{k}, φ ({\hat{x}}_{k})] \in E_{k}

, což je spor.

Budeme zkoumat vlastnosti řešení rovnice ohledně diferencovatelnosti a závislosti na počáteční podmínce. Víme, že řešení vždy existuje na nějakém neprodloužitelném intervalu $(m_{1} (x_{0}, y_{0}), m_{2} (x_{0}, y_{0}))$ .

Věta (o regularitě řešení). Nechť platí předpoklady Peanovy věty a navíc

f \in 𝒞^{p} (Γ), p \in ℕ_{0}

. Potom řešení rovnice má spojité derivace až do řádu

p + 1

Důkaz. Indukcí. Pro

p = 0

máme

φ \in 𝒞^{0} ∴ φ^{'} = f (x, φ (x)) \in 𝒞^{0} ∴ φ \in 𝒞^{1}

. Nechť věta platí pro

p

f \in 𝒞^{p + 1}

, potom

f \in 𝒞^{p} ∴ φ \in 𝒞^{p + 1} ∴ φ^{'} = f (x, φ (x)) \in 𝒞^{p + 1} ∴ φ \in 𝒞^{p + 2}

Věta (o spojité závislosti na datech). Nechť

Γ \in ℝ^{2} je oblast, [x_{0}, y_{0}] \in Γ, M, L \in ℝ^{+}

ℱ ≔ {f \in 𝒞 (Γ) | (\forall [x, y] \in Γ) (| f (x, y) | \leq M) \land (\forall [x, y_{1}], [x, y_{2}] \in Γ) (| f (x, y_{1}) - f (x, y_{2}) | \leq L | y_{1} - y_{2} |)}

Označme řešení úlohy

y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}

jako

φ (x) ≔ φ (x; x_{0}, y_{0}, f)

pro

f \in ℱ

⟨ \tilde{a}, \tilde{b} ⟩ \subset ℐ ≔ (m_{1} (x_{0}, y_{0}, f), m_{2} (x_{0}, y_{0}, f))

a řešení úlohy

y^{'} = \overline{f} (x, y), y ({\overline{x}}_{0}) = {\overline{y}}_{0}

jako

\overline{φ} (x) ≔ φ (x; {\overline{x}}_{0}, {\overline{y}}_{0}, \overline{f})

pro

\overline{f} \in ℱ

⟨ \tilde{a}, \tilde{b} ⟩ \subset \overline{ℐ} ≔ (m_{1} ({\overline{x}}_{0}, {\overline{y}}_{0}, \overline{f}), m_{2} ({\overline{x}}_{0}, {\overline{y}}_{0}, \overline{f}))

. (Interval

⟨ \tilde{a}, \tilde{b} ⟩

je pro obě úlohy stejný.) Potom

\begin{aligned} (\forall ε \in ℝ^{+}) (\exists δ \in ℝ^{+}) (\forall [{\overline{x}}_{0}, {\overline{y}}_{0}] \in Γ) (\forall \overline{f} \in ℱ) \\ (| {\overline{x}}_{0} - x_{0} | < δ \land | {\overline{y}}_{0} - y_{0} | < δ \land (\forall [x, y] \in Γ) (| f (x, y) - \overline{f} (x, y) | < δ) ⟹ (\forall x \in ⟨ \tilde{a}, \tilde{b} ⟩) (| \overline{φ} (x) - φ (x) | < ε)) \end{aligned}

Důkaz. Snadno dokážeme, že

φ

řeší diferenciální rovnice, právě když

φ (x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (\tilde{x}, φ (\tilde{x})) d \tilde{x}

\overline{φ} (x) = {\overline{y}}_{0} + \int_{{\overline{x}}_{0}}^{x} f (\tilde{x}, \overline{φ} (\tilde{x})) d \tilde{x}

K důkazu stačí zleva doprava zintegrovat, zprava doleva zderivovat. Odečtením dostáváme

\overline{φ} (x) - φ (x) = {\overline{y}}_{0} - y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} (\overline{f} (\tilde{x}, \overline{φ} (\tilde{x})) - f (\tilde{x}; φ (\tilde{x}))) d \tilde{x} - \int_{x_{0}}^{{\overline{x}}_{0}} \overline{f} (\tilde{x}; \overline{φ} (\tilde{x})) d \tilde{x}

Poslední člen snadno odhadneme:

| \int_{x_{0}}^{{\overline{x}}_{0}} \overline{f} (\tilde{x}; \overline{φ} (\tilde{x})) d \tilde{x} | \leq | \int_{x_{0}}^{{\overline{x}}_{0}} M d \tilde{x} | = M | {\overline{x}}_{0} - x_{0} |

Druhý člen také dokážeme odhadnout:

\begin{aligned} | \int_{x_{0}}^{x} (\overline{f} (\tilde{x}, \overline{φ} (\tilde{x})) - f (\tilde{x}; φ (\tilde{x}))) d \tilde{x} | & \leq | \int_{x_{0}}^{x} (\overline{f} (\tilde{x}, \overline{φ} (\tilde{x})) - \overline{f} (\tilde{x}; φ (\tilde{x}))) d \tilde{x} | + | \int_{x_{0}}^{x} (\overline{f} (\tilde{x}, φ (\tilde{x})) - f (\tilde{x}; φ (\tilde{x}))) d \tilde{x} | \\ \leq | \int_{x_{0}}^{x} L | \overline{φ} (\tilde{x}) | d \tilde{x} | + | \int_{x_{0}}^{x} δ d \tilde{x} | \end{aligned}

Z toho máme

\begin{aligned} | \overline{φ} (x) - φ (x) | & \leq δ + | \int_{x_{0}}^{x} L | \overline{φ} (\tilde{x}) - φ (\tilde{x}) | d \tilde{x} | + | \int_{x_{0}}^{x} δ d \tilde{x} | + M δ \\ \leq δ + δ (\tilde{b} - \tilde{a}) + δ M + | \int_{x_{0}}^{x} L | \overline{φ} (\tilde{x}) - φ (\tilde{x}) | d \tilde{x} | \end{aligned}

Lemma (Grönwall). Nechť

u : ⟨ \tilde{a}, \tilde{b} ⟩ \to ℝ_{0}^{+}

je spojitá a pro

A, L \in ℝ_{0}^{+}, x_{0} \in ⟨ \tilde{a}, \tilde{b} ⟩

platí

u (x) \leq A + \int_{x_{0}}^{x} L u (\tilde{x}) d \tilde{x} ≕ v (x)

Potom

u (x) \leq A \exp (L (x - x_{0}))

Důkaz. Všimněme si, že

v^{'} (x) = L u (x) \leq L v (x)

. Na tuto nerovnost použijeme metodu integračního faktoru:

v^{'} (x) - L v (x) \leq 0

v^{'} (x) \exp (- L (x - x_{0})) - L v (x) \exp (- L (x - x_{0})) \leq 0

{(v (x) \exp (- L (x - x_{0})))}^{'} \leq 0

v (x) \exp (- L (x - x_{0})) \leq v (x_{0}) = A

v (x) \leq A \exp (L (x - x_{0}))

Použitím Grönwallova lemmatu dostáváme

| \overline{φ} (x) - φ (x) | \leq (1 + \tilde{b} - \tilde{a} + M) δ \exp (L | x - x_{0} |) \leq (1 + \tilde{b} - \tilde{a} + M) δ \exp (L (\tilde{b} - \tilde{a}))

Tedy pro dané

ε

stačí zvolit

δ ≔ \frac{ε}{(1 + \tilde{b} - \tilde{a} + M) \exp (L (\tilde{b} - \tilde{a}))}

Poznámka. Všimněme si, že závislost je sice spojitá, ale poměr mezi

ε, δ

závisí exponenciálně na délce intervalu, což může být v praxi docela problém.

Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu

Definice. Nechť pro všechna

k \in \hat{n}

F^{k} : ℝ^{2 n + 1} \to ℝ

obyčejný diferenciální výraz. Potom

(\forall k \in \hat{n}) (F^{k} (x, y^{1}, \dots, y^{n}, {(y^{1})}^{'}, \dots, {(y^{n})}^{'}) = 0)

je soustava

n

obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. (

F^{k}, y^{k}

jsou indexy, nikoliv mocniny.)

Poznámka. Každou obyčejnou diferenciální rovnici (nebo i soustavu) vyššího řádu lze převést na soustavu diferenciálních rovnic prvního řádu.

Definice. Normální tvar soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu je

(\forall k \in \hat{n}) ({(y^{k})}^{'} = f^{k} (x, y^{1}, \dots, y^{n}))

Pokud budeme brát

y, f

jako vektor všech

y^{k}, f^{k}

, můžeme psát

y^{'} = f (x, y)

Definice. Nechť

A \subset ℝ^{1 + n}

je konvexní. Funkce

g : A \to ℝ

je lokálně lipschitzovská vůči

y

, pokud

(\forall [x_{0}, y_{0}] \in A) (\exists H_{[x_{0}, y_{0}]}) (\exists L \in ℝ^{+}) (\forall [x, y_{1}], [x, y_{2}] \in H_{[x_{0}, y_{0}]}) (| g (x, y_{1}) - g (x, y_{2}) | \leq L | y_{1} - y_{2} |)

Věta. Spojitě diferencovatelná funkce je lokálně lipschitzovská.

Důkaz. Pokud

(\forall k \in \hat{n}) (\partial_{y^{k}} g \in 𝒞 (A))

, potom pro konkrétní

[x, y_{1}], [x, y_{2}]

můžeme zvolit

w (s) ≔ g (x, y_{1} + s (y_{2} - y_{1})), s \in ⟨ 0,1 ⟩

. Potom

g (x, y_{2}) - g (x, y_{1}) = w (1) - w (0) = w^{'} (ξ) (1 - 0) = \sum_{j = 1}^{n} \partial_{y_{j}} g (x, y_{1} + s (y_{2} - y_{1})) (y_{2}^{j} - y_{1}^{j})

| g (x, y_{2}) - g (x, y_{1}) | \leq \tilde{L} \sum_{j = 1}^{n} | y_{2}^{j} - y_{1}^{j} | \leq n \tilde{L} | y_{2} - y_{1} |

Věta (Picard). Nechť

Γ \subset ℝ^{1 + n}

je oblast,

[x_{0}, y_{0}] \in Γ, f : ℝ^{n} \to ℝ^{n}, f, \partial_{y} f \in 𝒞 (Γ)

. Potom existuje

a \in ℝ^{+}

a funkce

φ : (x_{0} - a, x_{0} + a) \to ℝ^{n}

, která jednoznačně řeší úlohu

y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}

Důkaz. Přepíšeme do integrální podoby:

φ (x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (\tilde{x}, φ (\tilde{x})) d \tilde{x}

Zavedeme Picardovy iterace:

\begin{aligned} φ_{0} (x) & ≔ y_{0} \\ φ_{k + 1} (x) & ≔ y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (\tilde{x}, φ_{k} (\tilde{x})) d \tilde{x} \end{aligned}

Ověříme pomocí Bolzanovy-Cauchyovy podmínky, že posloupnost

φ_{k}

stejnoměrně konverguje. Chceme tedy dokázat:

(\forall ε \in ℝ^{+}) (\exists n_{0} \in ℕ) (\forall k \in ℕ, k > n_{0}) (\forall p \in ℕ) (\forall x \in (x_{0} - a, x_{0} + a)) (| φ_{k + p} (x) - φ_{k} (x) | < ε)

| φ_{k + p} (x) - φ_{k} (x) | \leq \sum_{l = 1}^{p} | φ_{k + l} (x) - φ_{k + l - 1} (x) |

Pro začátek:

| φ_{1} (x) - φ_{0} (x) | = | \int_{x_{0}}^{x} f (\tilde{x}, y_{0}) d \tilde{x} | = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {| \int_{x_{0}}^{x} f^{i} (\tilde{x}, y_{0}) |}^{2}}

Odvodíme si:

[x_{0}, y_{0}] \in Γ ∴ (\exists ρ_{0} \in ℝ^{+}) (B ≔ B ([x_{0}, y_{0}], ρ_{0}) \subset Γ) ∴ (\exists M \in ℝ^{+}) (\forall [x, y] \in B) (| f (x, y) < M |)

Nyní můžeme pokračovat v odhadu:

| φ_{1} (x) - φ_{0} (x) | \leq \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {| \int_{x_{0}}^{x} M d x |}^{2}} = \sqrt{n} M | x - x_{0} |

Nyní postoupíme o stupeň výše, přičemž použijeme lokální lipschitzovskost v

B

\begin{aligned} | φ_{2} (x) - φ_{1} (x) | & = | \int_{x_{0}}^{x} f (\tilde{x}, φ_{1} (\tilde{x})) - \int_{x_{0}}^{x} f (\tilde{x}, φ_{0} (\tilde{x})) | \\ = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {| \int_{x_{0}}^{x} (f^{i} (\tilde{x}, φ_{1} (\tilde{x})) - f^{i} (\tilde{x}, φ_{0} (\tilde{x}))) d \tilde{x} |}^{2}} \\ \leq \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {| \int_{x_{0}}^{x} L | φ_{1} (\tilde{x}) - φ_{0} (\tilde{x}) | d \tilde{x} |}^{2}} \\ = \sqrt{n} L | \int_{x_{0}}^{x} | φ_{1} (\tilde{x}) - φ_{0} (\tilde{x}) | d \tilde{x} | \\ \leq \sqrt{n} L | \int_{x_{0}}^{x} \sqrt{n} M | \tilde{x} - x_{0} | d \tilde{x} | \\ = \sqrt{n} L \sqrt{n} M \frac{{| x - x_{0} |}^{2}}{2} \end{aligned}

Analogicky můžeme pro každé

k

dokázat:

| φ_{k + 1} - φ_{k} | \leq \sqrt{n} L | \int_{x_{0}}^{x} | φ_{k} (\tilde{x}) - φ_{k - 1} (\tilde{x}) | d \tilde{x} |

Když to sčupčíme, budeme chtít indukcí dokázat:

| φ_{k + 1} (x) - φ_{k} (x) | \leq \sqrt{n} M {(\sqrt{n} L)}^{k} \frac{{| x - x_{0} |}^{k + 1}}{(k + 1)!}

Nechť to platí do

k - 1

, potom

\begin{aligned} | φ_{k + 1} (x) - φ_{k} (x) | & \leq \sqrt{n} L | \int_{x_{0}}^{x} | φ_{k} (\tilde{x}) - φ_{k - 1} (\tilde{x}) | d \tilde{x} | \\ \overset{IP}{\leq} \sqrt{n} L | \int_{x_{0}}^{x} \sqrt{n} M {(\sqrt{n} L)}^{k - 1} \frac{{| \tilde{x} - x_{0} |}^{k}}{k!} d \tilde{x} | \\ = \sqrt{n} M {(\sqrt{n} L)}^{k} \frac{| \int_{x_{0}}^{x} | \tilde{x} - x_{0} | d \tilde{x} |}{k!} \\ = \sqrt{n} M {(\sqrt{n} L)}^{k} \frac{{| x - x_{0} |}^{k + 1}}{(k + 1)!} \end{aligned}

Celkově

| φ_{k + p} (x) - φ_{k} (x) | \leq \sum_{l = 1}^{p} | φ_{k + l} (x) - φ_{k + l - 1} (x) | \leq \sum_{l = 1}^{p} \sqrt{n} M {(\sqrt{n} L)}^{k + l - 1} \frac{{| x - x_{0} |}^{k + l}}{(k + l)!}

Toto platí pouze pro

[x, φ_{k} (x)] \in B

. Zkonstruujeme tedy opět obdélník

⟨ x_{0} - a, x_{0} + a ⟩ \times ⟨ y_{0} - b, y_{0} + b ⟩ \subset B

jako v Peanově větě. Jelikož jsme ověřili Bolzano-Cauchyovu podmínku, existuje limita

φ_{k} \overset{⟨ x_{0} - a_{0}, x_{0} + a_{0} ⟩}{⇉} φ

. Zřejmě o této funkci budeme tvrdit, že je to řešení původní úlohy. K tomu stačí zlimitit definici

φ_{k}

a vrátit ji do diferenciálního tvaru. Nyní zbývá jednoznačnost. Mějme dvě řešení

φ, ψ

, potom

φ (x) - ψ (x) = \int_{x_{0}}^{x} (f (\tilde{x}, φ (\tilde{x})) - f (\tilde{x}, ψ (\tilde{x}))) d \tilde{x}

Analogicky jako předtím odvodíme

\begin{aligned} | φ (x) - ψ (x) | & \leq \sqrt{n} L | \int_{x_{0}}^{x} (φ (\tilde{x}) - ψ (\tilde{x})) d \tilde{x} | \\ = \sqrt{n} L \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {| \int_{x_{0}}^{x} | φ^{i} (x) - ψ^{i} (x) | d \tilde{x} |}^{2}} \\ \leq n L | \int_{x_{0}}^{x} | φ (\tilde{x}) - ψ (\tilde{x}) | d \tilde{x} | \end{aligned}

Použitím Grönwallova lemmatu dostáváme

| φ (x) - ψ (x) | \leq 0

, čímž je důkaz hotov.

Příklad (Lorenzovy rovnice). Tyto rovnice se používají pro předpověď počasí.

\begin{aligned} \dot{x} & = - σ x + σ y \\ \dot{y} & = r x - y - x z \\ \dot{z} & = - b z + x y \end{aligned}

Tedy

f (t, x, y, z) = (\begin{array}{c} - σ x + σ y \\ r x - y - x z \\ - b z + x y \end{array})

Podle Picardovy věty existuje jednoznačné řešení a podle věty o spojité závislosti na datech závisí řešení spojitě na počátečních podmínkách.

Lineární diferenciální rovnice

Definice. Nechť

ℐ \subset ℝ

je interval,

n \in ℕ

(\forall i, j \in \hat{n}) (a_{i, j}, b_{j} \in 𝒞 (ℐ, ℝ))

. Pak soustava lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu je

(\forall i \in \hat{n}) ({(y^{i})}^{'} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i, j} (x) y^{j} + b_{i} (x))

neboli

y^{'} = 𝐀 (x) y + b (x)

Poznámka. Tato soustava společně s počátečními podmínkami

y (x_{0}) = y_{0}

má podle Picardovy věty jednoznačné řešení.

Definice. Nechť

ℐ \subset ℝ

je interval a

(\forall j \in \hat{n}) (p_{j} \in 𝒞 (ℐ, ℝ))

. Pak lineární diferenciální rovnice

n

-tého řádu je

y^{(n)} + \sum_{j = 0}^{n - 1} p_{n - j} (x) y^{(j)} = q (x)

Je-li

q (x) = 0

, jde o rovnici bez pravé strany, jinak s pravou stranou.

Poznámka. Lineární rovnice vyššího řádu se dá převést na soustavu lineárních rovnic prvního řádu:

\begin{aligned} {(z^{1})}^{'} (x) & = z^{2} (x) \\ {(z^{2})}^{'} (x) & = z^{3} (x) \\ ⋮ \\ {(z^{n + 1})}^{'} (x) & = z^{n} (x) \\ {(z^{n})}^{'} (x) & = q (x) - \sum_{j = 1}^{n} p_{n - j + 1} (x) z^{j} (x) \end{aligned}

Picardova věta nám poté zajistí řešení pro dané počáteční podmínky.

Věta (linearita řešení). Nechť

y_{1}, \dots, y_{k}

řeší lineární diferenciální rovnici vyššího řádu bez pravé strany na intervalu

ℐ

α_{1}, \dots, α_{k} \in ℝ

. Potom

y ≔ \sum_{i = 1}^{k} α_{i} y_{i}

je také řešení.

Důkaz. Triviální.

Věta. Nechť

z

řeší lineární diferenciální rovnici vyššího řádu s pravou stranou na intervalu

ℐ

y

řeší tu samou rovnici bez pravé strany. Potom i

y + z

řeší rovnici s pravou stranou.

Důkaz. Triviální.

Definice. Nechť

ℐ \subset ℝ

je otevřený interval a

f_{1}, \dots, f_{n} : ℐ \to ℝ

. Řekneme, že

f_{1}, \dots, f_{k}

jsou na

ℐ

lineárně závislé, pokud

(\exists α_{1}, \dots, α_{k} \in ℝ, (\exists j \in \hat{k}) (α_{j} \neq 0)) (\forall x \in ℐ) (\sum_{j = 1}^{k} α_{j} f_{j} (x) = 0)

Poznámka. Toto odpovídá normální definici lineární závislosti aplikované na lineární prostor funkcí.

Příklad. Funkce

1, x, \dots, x^{k - 1}

jsou na

(- 1, 1)

lineárně nezávislé.

Příklad. Funkce

x^{3}, {| x |}^{3}

jsou na

(- 1, 1)

lineárně nezávislé, ale na

(0,1)

lineárně závislé.

Definice. Nechť

ℐ \subset ℝ

je otevřený interval a

f_{1}, \dots, f_{k} : ℐ \to ℝ

jsou diferencovatelné do řádu

k - 1

. Pak Wrońského determinant (wrońskián) je

W_{f_{1}, \dots, f_{k}} (x) ≔ \det (\begin{array}{ccc} f_{1} (x) & \dots & f_{k} (x) \\ f_{1}^{'} (x) & \dots & f_{k}^{'} (x) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ f_{1}^{(k - 1)} (x) & \dots & f_{k}^{k - 1} (x) \end{array})

Věta (obecná implikace). Nechť

ℐ \subset ℝ

je otevřený interval a funkce

f_{1}, \dots, f_{k} : ℐ \to ℝ

jsou diferencovatelné do řádu

k - 1

a lineárně závislé na

ℐ

. Potom

(\forall x \in ℐ) (W_{f_{1}, \dots, f_{k}} (x) = 0)

Důkaz. Postupným derivováním rovnosti z definice lineární závislosti dostáváme

(\forall l \in {0, \dots, k - 1}, x \in ℐ) (\sum_{j = 1}^{k} α_{j} f_{j}^{(l)} (x) = 0)

Z toho plyne, že sloupce Wrońskiho matice jsou lineárně závislé.

Příklad. Vraťme se k funkcím

x^{3}, {| x |}^{3}

. Wrońskián těchto funkcí na intervalu

(- 1, 1)

je všude nulový, a přesto jsou funkce lineárně nezávislé. Věta tedy obecně vopáčně neplatí.

Věta. Mějme lineární difeenciální rovnici bez pravé strany. Potom:

$y (x) = 0$ je řešení.
Pokud přidáme počáteční podmínky $y (x_{0}) = y^{'} (x_{0}) = \dots = y^{(n - 1)} (x_{0}) = 0$ , potom $y (x) = 0$ je jediné řešení.

Důkaz. První tvrzení je zřejmé, druhé plyne z Picardovy věty.

Věta. Nechť

y_{1}, \dots, y_{n}

jsou řešení lineární diferenciální rovnice bez pravé strany na intervalu

ℐ

(\exists x_{0} \in ℐ) (W_{y_{1}, \dots, y_{n}} (x_{0}) = 0)

. Potom

y_{1}, \dots, y_{n}

jsou na

ℐ

lineárně závislé.

Důkaz. Z nulovosti wrońskiánu plyne lineární závislost sloupců, takže najdeme ne všechna nulová

α_{1}, \dots, α_{n}

taková, že

(\forall l \in {0, \dots, k - 1}) (\sum_{j = 1}^{k} α_{j} y_{j}^{(l)} (x_{0}) = 0)

Funkce

Y ≔ \sum_{j = 1}^{k} α_{j} y_{j}

je tedy řešení té samé rovnice s počátečními podmínkami

Y (x_{0}) = Y^{'} (x_{0}) = \dots = Y^{(n - 1)} (x_{0}) = 0

, tudíž je podle předchozí věty všude nulová a

y_{1}, \dots, y_{n}

jsou lineárně závislé.

Důsledek. Jsou-li řešení lineární diferenciální rovnice lineárně nezávislá, potom wrońskián je všude nenulový.

Definice. Nechť

y_{1}, \dots, y_{n}

řeší na

ℐ

rovnici bez pravé strany a jsou na

ℐ

lineárně nezávislá. Potom se

(y_{1}, \dots, y_{n})

nazývá fundamentální systém. (Tedy to, čemu normální lidé říkají báze.)

Věta. Nechť

y_{1}, \dots, y_{n}

je fundamentální systém na

ℐ

. Pak pro každé řešení

y

rovnice existují

α_{1}, \dots, α_{n}

takové, že

y = \sum_{j = 1}^{n} α_{j} y_{j}

. (Jinými slovy, je to báze.)

Důkaz. Nechť

x_{0} \in ℐ

. Podle předchozí věty

W (x_{0}) \neq 0

. Tedy

[\begin{array}{c} y_{1} (x_{0}) \\ ⋮ \\ y_{1}^{(n - 1)} (x_{0}) \end{array}], [\begin{array}{c} y_{n} (x_{0}) \\ ⋮ \\ y_{n}^{(n - 1)} (x_{0}) \end{array}]

je báze

ℝ^{n}

a dokážeme tedy vyjádřit vektor

{[y_{1} (x_{0}), \dots, y_{1}^{(n - 1)} (x_{0})]}^{T}

jako její lineární kombinaci. Označme

Y (x)

lineární kombinaci

y_{1}, \dots, y_{n}

se stejnými koeficienty. Potom zřejmě pro funkci

z ≔ y - Y

platí, že

z (x_{0}) = z^{'} (x_{0}) = \dots = z^{(n - 1)} (x_{0}) = 0

. Jelikož to zároveň je řešení rovnice s nulovou pravou stranou, musí být

z = 0

Věta. Nechť

y_{1}, \dots, y_{n}

je fundamentální systém,

C \in ℝ^{n \times n}

Y_{j} ≔ \sum_{l = 1}^{n} C_{j, l} y_{l}

. Potom

(\forall x \in ℐ) (W_{Y_{1}, \dots, Y_{n}} (x) = \det C \cdot W_{y_{1}, \dots, y_{n}})

Speciálně pokud

\det C \neq 0

, potom

Y_{1}, \dots, Y_{n}

je fundamentální systém.

Důkaz. Snadno ověříme přes násobení matic.

Poznámka (derivace determinantu). Nechť

A : ℝ \to ℝ^{n \times n}

. Potom

\det A (x) = \sum_{π \in 𝕊_{n}} sgn π \cdot \prod_{j = 1}^{n} A_{j, π (j)} (x)

{(\det A)}^{'} (x) = \sum_{π \in 𝕊_{n}} sgn π \cdot \sum_{l = 1}^{n} A_{l, π (l)}^{'} (x) \cdot \prod_{\begin{array}{c} j = 1 \\ j \neq l \end{array}}^{n} A_{j, π (j)} (x) = \sum_{l = 1}^{n} \det (\begin{array}{ccc} A_{1,1} (x) & \dots & A_{1, n} (x) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{l, 1}^{'} (x) & \dots & A_{l, n}^{'} (x) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n, 1} (x) & \dots & A_{n, n} (x) \end{array})

Věta. Nechť

y_{1}, \dots, y_{n}

řeší lineární diferenciální rovnici bez pravé strany na

ℐ

x_{0} \in ℐ

. Potom pro všechna

x \in ℐ

platí:

W_{y_{1}, \dots, y_{n}} (x) = W_{y_{1}, \dots, y_{n}} (x_{0}) \exp (- \int_{x_{0}}^{x} p_{1} (\tilde{x}) d \tilde{x})

Důkaz.

Věta. Nechť

y_{1}, \dots, y_{n} \in 𝒞^{n} (ℐ), (\forall x \in ℐ) (W_{y_{1}, \dots, y_{n}} (x) \neq 0)

. Potom existuje právě jedna lineární diferenciální rovnice bez pravé strany, pro níž je

y_{1}, \dots, y_{n}

fundamentalní systém.

Důkaz. U wrońskiánu s přidaným

y

provedeme rozvoj podle prvního sloupce:

\begin{aligned} W_{y, y_{1}, \dots, y_{n}} (x) & = \det (\begin{array}{cccc} y (x) & y_{1} (x) & \dots & y_{n} (x) \\ y^{'} (x) & y_{1}^{'} (x) & \dots & y_{n}^{'} (x) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ y^{(n)} (x) & y_{1}^{(n)} (x) & \dots & y_{n}^{(n)} (x) \end{array}) \\ = \sum_{j = 0}^{n} {(- 1)}^{j} y^{(j)} (x) \det (m a t i c e b e z p r v n \overset{ˊ}{ı} h o s l o u p c e a j - t \overset{ˊ}{e} h o \overset{ˇ}{r} \overset{ˊ}{a} d k u) \\ ≕ {(- 1)}^{n} y^{(n)} (x) W_{y_{1}, \dots, y_{n}} (x) + \sum_{j = 0}^{n - 1} {(- 1)}^{j} y^{(j)} (x) D_{n - j} (x) \end{aligned}

Do rovnice stačí tedy zvolit

p_{k} ≔ {(- 1)}^{k} \frac{D_{k}}{W_{y_{1}, \dots, y_{k}}}

. Nyní ukažme jednoznačnost. Nechť existují dvě různé rovnice s daným fundamentálním systémem. Jejich odečtením dostaneme rovnici řádu nanejvýš

n - 1

, která ovšem také musí mít ten samý

n

-prvkový fundamentální systém, což je spor.

Poznámka (metoda variace konstant). Mějme lineární diferenciální rovnici s pravou stranou. Již víme, že odpovídající rovnice bez pravé strany má fundamentální systém řešení

y_{1}, \dots, y_{n}

. Každé její řešení je ve tvaru

y (x) = \sum_{j = 1}^{n} C_{j} y_{j} (x)

Co kdyby koeficienty lineární kombinace také závisely na

x

\begin{aligned} y (x) & = \sum_{j = 1}^{n} C_{j} (x) y_{j} (x) \\ y^{'} (x) & = \underset{p \overset{ˇ}{r} e d p o k l \overset{ˊ}{a} d e j m e, \overset{ˇ}{z} e t o j e 0}{\underset{⏟}{\sum_{j = 1}^{n} C_{j}^{'} (x) y_{j}}} + \sum_{j = 1}^{n} C_{j} (x) y_{j}^{'} (x) \\ ⋮ \\ y^{(k)} (x) & = \underset{p \overset{ˇ}{r} e d p o k l \overset{ˊ}{a} d e j m e, \overset{ˇ}{z} e t o j e 0}{\underset{⏟}{\sum_{j = 1}^{n} C_{j}^{'} (x) y_{j}^{(k - 1)}}} + \sum_{j = 1}^{n} C_{j} (x) y_{j}^{(k)} (x) \\ ⋮ \\ y^{(n)} (x) & = \underset{t o h l e n e c h \overset{ˊ}{a} m e b \overset{ˊ}{y} t!}{\underset{⏟}{\sum_{j = 1}^{n} C_{j}^{'} (x) y_{j}^{(n - 1)}}} + \sum_{j = 1}^{n} C_{j} (x) y_{j}^{(n)} (x) = \dots = q (x) + \sum_{j = 1}^{n} C_{j} (x) y_{j}^{(n)} (x) \end{aligned}

Stačí tedy vyřešit soustavu

\begin{aligned} \sum_{j = 1}^{n} C_{j}^{'} (x) y_{j}^{(k - 1)} (x) & = δ_{k, n} q (x) \end{aligned}

Věta. Každá lineární diferenciální rovnice bez pravé strany má fundamentální systém.

Definice. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je

a_{0} y^{(n)} + \sum_{k = 1}^{n} a_{n - k} y^{(k)} = q (x)

Věta. Funkce

y (x) ≔ \exp (λ x)

řeší lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty bez pravé strany, právě když

λ

je kořen charakteristického polynomu

\sum_{j = 0}^{n} a_{n - 1} λ^{j}

Důkaz. Stačí dosadit.

Věta. Pokud

λ_{1}, \dots, λ_{k}

jsou různé kořeny charakteristického polynomu, potom řešení

\exp (λ_{1} x), \dots, \exp (λ_{k} x)

jsou lineárně nezávislá.

Lemma. Je-li

λ_{0}

k

-násobný kořen polynomu

p

, potom je kořenem jeho derivací až do řádu

k - 1

Důkaz.

p (λ) = {(λ - λ_{0})}^{k} Q (λ)

To budeme derivovat a až do řádu

k - 1

to bude pořád

(λ - λ_{0})

krát něco.

Věta. Nechť

λ_{0}

k

-násobný kořen charakteristického polynomu

p

. Pak

\exp (λ_{0} x), x \exp (λ_{0} x), \dots, z^{k - 1} \exp (λ_{0} x)

jsou řešení rovnice.

Důkaz. Označme

g (x, λ) ≔ \sum_{l = 0}^{n} a_{l} λ^{n - l} \exp (λ x) = \sum_{l = 0}^{n} a_{l} {(\exp (λ x))}^{(n - l)} = \exp (λ x) p (λ)

Potom

\partial_{λ}^{l} g (x, λ) = \sum_{j = 0}^{l} (\binom{l}{j}) p^{(j)} (λ) \partial_{λ}^{(l - j)} \exp (λ x) \overset{\overset{}{pro λ = λ_{0}, l \in {0, \dots, k - 1}}}{=} 0

Zároveň

\partial_{λ}^{j} g (x, λ) = \sum_{l = 0}^{n} a_{l} \partial_{λ}^{l} \partial_{x}^{n - l} \exp (λ x) = \sum_{l = 0}^{n} a_{l} \partial_{x}^{n - l} \partial_{λ}^{l} \exp (λ x) = \sum_{l = 0}^{n} a_{l} \partial_{x}^{n - l} x^{l} \exp (λ x)

Důsledek. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty bez pravé strany má fundamentální systém

\exp (λ_{1} x), x \exp (λ_{1} x), \dots, x^{k_{1} - 1} \exp (λ_{1} x), \dots, \exp (λ_{p} x), x \exp (λ_{p} x), \dots, x^{k_{p} - 1} \exp (λ_{p} x),

kde

p

je počet různých kořenů a

k_{1}, \dots, k_{p}

jsou jejich násobnosti.

Samostatně: Metoda variace konstant a explicitní tvar fundamentálního systému pro soustavy lineárních rovnic s konstantní maticí

Příklad (okrajová úloha pro lineární diferenciální rovnici druhého řádu).

\begin{aligned} - {(p (x) y^{'})}^{'} + q (x) y & = f (x) \\ α_{1} y (a) + β_{1} y^{'} (a) & = 0 \\ α_{2} y (b) + β_{2} y^{'} (b) & = 0 \end{aligned}

Předpoklady:

$p, p^{'}, q^{'}, f \in 𝒞^{1} (⟨ a, b ⟩)$
$(\exists c_{0} \in ℝ^{+}) (\forall x \in ⟨ a, b ⟩) (p (x) \geq c_{0})$
$(\forall i \in \hat{2}) (α_{i} \neq 0 \lor β_{i} \neq 0)$

Fyzikálně rovnice vyjadřuje zákon zachování veličiny

y

za předpokladu jejího toku ve tvaru

j (x) = - p (x) y^{'} (x)

a přestupu hranicemi

a, b

Poznámka. Pro

q (x) = α_{1} = α_{2} = 0

je funkce

y

zřejmě určena až na konstantu, tedy řešení této úlohy nemusí být jednoznačné.

Rovnice je zapsána tak, aby se líbila fyzikům, ale z matematického hlediska je lepší ji rozčupčit a pokrátit:

y^{''} (x) - \underset{p_{1} (x)}{\underset{⏟}{\frac{p^{'} (x)}{p (x)}}} y^{'} (x) - \underset{p_{2} (x)}{\underset{⏟}{\frac{q (x)}{p (x)}}} y (x) = - \frac{f (x)}{p (x)}

Z toho už je hezky vidět, že jde o lineární diferenciální rovnici s pravou stranou, tedy má nějaký dvouprvkový fundamentální systém a partikulární řešení lze najít metodou variace konstant. Budeme vlastně řešit dvě počáteční úlohy:

\begin{array}{r} y (a) = ξ_{1}, y^{'} (a) = ω_{1} \\ y (b) = ξ_{2}, y^{'} (b) = ω_{2} \end{array}

Věta. Hodnoty

ξ_{1}, ω_{1}, ξ_{2}, ω_{2}

lze volit tak, že řešení

v_{1}, v_{2}

obou úloh budou na

⟨ a, b ⟩

lineárně nezávislá. Přitom

v_{1}

splňuje

α_{1} y (a) + β_{1} y^{'} (a) = 0

v_{2}

splňuje

α_{2} y (b) + β_{2} y^{'} (b) = 0

, ale vopáčně to nesplňují.

Důkaz. Rozmyslet: sporem, s využitím původního (fyzikálního) tvaru a integrální rovnosti (viz jednoznačnost níže).

Wrońskián pro daná dvě řešení

v_{1}, v_{2}

je podle nějaké předchozí věty

W_{v_{1}, v_{2}} = \det (\begin{array}{cc} v_{1} (x) & v_{2} (x) \\ v_{1}^{'} (x) & v_{2} (x) \end{array}) = W_{v_{1}, v_{2}} (x_{0}) \exp (- \int_{x_{0}}^{x} p_{1} (\tilde{x}) d \tilde{x})

\int_{x_{0}}^{x} p_{1} (\tilde{x}) d \tilde{x} = \int_{x_{0}}^{x} \frac{p^{'} (\tilde{x})}{p (\tilde{x})} d \tilde{x} = \ln \frac{p (x)}{p (x_{0})}

p (x) W_{v_{1}, v_{2}} (x) = p (x_{0}) W_{v_{1}, v_{2}} (x_{0}) = konst. ≕ K

Proveďme variaci konstant:

y (x) ≕ C_{1} (x) v_{1} (x) + C_{2} (x) v_{2} (x)

\begin{aligned} y^{'} (x) & = \underset{p \overset{ˇ}{r} e d p o k l \overset{ˊ}{a} d \overset{ˊ}{a} m e 0}{\underset{⏟}{C_{1}^{'} (x) v_{1} (x) + C_{2}^{'} (x) v_{2} (x)}} + C_{1} (x) v_{1}^{'} (x) + C_{2} (x) v_{2}^{'} (x) \\ y^{''} (x) & = C_{1}^{'} (x) v_{1}^{'} (x) + C_{2}^{'} (x) v_{2}^{'} (x) + C_{1} (x) v_{1}^{''} (x) + C_{2} (x) v_{2}^{''} (x) \end{aligned}

Budeme tedy řešit soustavu

\begin{aligned} C_{1}^{'} (x) v_{1} (x) + C_{2}^{'} (x) v_{2} (x) & = 0 \\ C_{1}^{'} (x) v_{1}^{'} (x) + C_{2}^{'} (x) v_{2}^{'} (x) & = \frac{- f (x)}{p (x)} \end{aligned}

To má jednoznačné řešení

C_{1,2}^{'} (x) = \frac{D_{1,2} (x)}{W_{v_{1}, v_{2}} (x)}, D_{1,2} (x) ≔ \frac{v_{2,1} (x) f (x)}{p (x)}

Budeme hledat řešení ve tvaru, který si prof. Beneš vycucal z prstu, ale ukazuje se, že funguje:

C_{1} (x) = - \int_{x}^{b} C_{1}^{'} (\tilde{x}) d \tilde{x} + C_{1} (b) = - \frac{1}{K} \int_{x}^{b} v_{2} (\tilde{x}) f (\tilde{x}) d \tilde{x} + C_{1} (b)

C_{2} (x) = - \int_{a}^{x} C_{2}^{'} (\tilde{x}) d \tilde{x} + C_{2} (a) = - \frac{1}{K} \int_{a}^{x} v_{1} (\tilde{x}) f (\tilde{x}) d \tilde{x} + C_{2} (a)

Hodnoty

C_{1} (b), C_{2} (a)

již dokážeme určit z okrajových podmínek tím, že si za

x

dosadíme

a, b

. Dostaneme se k tomu, že jsou obě

0

. Tedy celkově máme

\begin{aligned} y (x) & = - \frac{1}{K} (\int_{x}^{b} v_{2} (\tilde{x}) f (\tilde{x}) d \tilde{x}) v_{1} (x) + (\int_{a}^{x} v_{1} (\tilde{x}) f (\tilde{x}) d \tilde{x}) v_{2} (x) \\ = - \frac{1}{K} \int_{x}^{b} v_{1} (x) v_{2} (\tilde{x}) f (\tilde{x}) d \tilde{x} - \frac{1}{K} \int_{a}^{x} v_{1} (\tilde{x}) v_{2} (x) f (\tilde{x}) d \tilde{x} \\ = \int_{a}^{b} G (x, \tilde{x}) f (\tilde{x}) d \tilde{x} \end{aligned}

kde

G

je Greenova funkce:

G (x, \tilde{x}) ≔ - \frac{1}{K} {\begin{matrix} v_{1} (\tilde{x}) v_{2} (x), & \tilde{x} \leq x \\ v_{1} (x) v_{2} (\tilde{x}), & \tilde{x} \geq x \end{matrix} = - \frac{1}{K} v_{1} (\min (x, \tilde{x})) v_{2} (\max (x, \tilde{x}))

Věta. Za doplňujících předpokladů je řešení jednoznačné.

Důkaz. Nechť

y_{1}, y_{2}

jsou řešení. Dosadíme, odečteme a označíme

z ≔ y_{1} - y_{2}

, čímž dostáváme

\begin{aligned} - {(p (x) z^{'})}^{'} + q (x) z & = 0 \\ α_{1} z (a) + β_{1} z^{'} (b) & = 0 \\ α_{2} z (a) + β_{2} z^{'} (b) & = 0 \end{aligned}

Zintegrováním máme

\begin{aligned} 0 & = \int_{a}^{b} (- {(p (x) z^{'} (x))}^{'} z (x) + q (x) z {(x)}^{2}) d x \\ \overset{\overset{}{bubun sekibun}}{=} \int_{a}^{b} p (x) {(z^{'} (x))}^{2} d x + \int_{a}^{b} q (x) z {(x)}^{2} d x - p (x) z^{'} (b) z (b) + p (a) z^{'} (a) z (a) \end{aligned}

Toto je ta integrální rovnost, která se má využít v důkazu předchozí věty. Z doplňujících předpokladů nějak dokážeme, že všechny čtyři členy jsou nezáporné, tudíž se musí rovnat

0

. Z nulovosti prvního členu plyne

z^{'} = 0

, tedy

z

musí být konstanta. Podle krajů určíme, že tato konstanta je

0

. (Rozlišuje se docela hodně případů, viz tabule, kterou jsem si zapomněl vyfotit.)

Příklad (Volný pád v plynném prostředí atmosféry).

m \ddot{x} = m g - k {\dot{x}}^{2}, k > 0

m \dot{v} = m g - k v^{2}, k > 0

Jde o Ricattiho rovnici. Ta má konstantní řešení

v_{1} (x) ≔ - \sqrt{\frac{m g}{k}}

a ostatní řešení získáme jako

z (t) = \frac{1}{v (t) - v_{1} (t)} \to n \overset{ˇ}{e} j a k \overset{ˊ}{e} \overset{ˇ}{s} \overset{ˊ}{ı} l e n o s t i

Pro

t \to \infty

to jde k

v_{1}

Zápisky z předmětu Diferenciální rovnice

Obsah

Historie diferenciálních rovnic

Příklady

Značení a definice

Řešení obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu

Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu

Lineární diferenciální rovnice