Výcuc ze skript ELMA

Úvod

Toto je můj pokus o vypsání nejdůležitějších poznatků ze skript Ivan Štoll — Elektřina a magnetismus. Mně posloužily jako dobrý základ pro učení se na zkoušku z ELMA a doufám, že pomohou i někomu dalšímu. Ke každé z 49 otázek na konci skript jsem vypsal jakési základy toho, co by se k ní dalo říct, pokud možno tak, aby zbytek šel dovymyslet.

Poznámky rozhodně nepokrývají obsah skript, pravděpodobně obsahují spoustu chyb a ve spoustě míst nejsou důsledné. Používejte na vlastní nebezpečí a případné chyby prosím hlašte, třeba na můj e-mail. To, že čísla nadpisů jsou v úplně přeházeném pořadí, není moje chyba; můžou za to skripta.

Abych udržel poznámky co nejstručnější, musel jsem se vyhnout humoru. Pokud jste zdeptáni učením a chcete se trochu zasmát, doporučuji svou sbírku hlášek, kde jsou mimo jiné i hlášky Chadziho a dalších našich učitelů (použijte vyhledávací pole v sekci Seznam hlášek).

prof. Chadzitaskos hrající si s bublifukem — Tohle je vážná věda

Rozdíly ve značení

Některé věci zde značím jinak než ve skriptech, protože mi to přijde přehlednější / méně matoucí. Následující tabulka by měla sloužit jako překlad.

Moje značení	Značení ve skriptech	Význam
$X ≔ Y$	$X = Y$	X je definováno jako Y
$X ≕ Y$	$X = Y$	Y je definováno jako X
$\vec{\nabla} f$	$grad f$	gradient pole
$\vec{\nabla} \cdot \vec{f}$	$div \vec{f}$	divergence pole
$\vec{\nabla} \times \vec{f}$	$rot \vec{f}$	rotace pole
$\nabla^{2}$	$Δ$	Laplaceův operátor
$∴$		proto
$k$	$\frac{1}{4 π ε_{0}}$	Coulombova konstanta
$\dot{X}$	$\frac{d X}{d t}$	derivace X podle času
$Θ$	$T$	teplota
$⟨ X ⟩$	$< X >$	střední hodnota X

Také jsem se snažil nad rovnosti psát, z čeho plynou, pokud to není triviální.

Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru — to nejdůležitější, co si odsud máte odnést — jsou orámečkovány.

prof. Chadzitaskos píšící na tabuli velmi prasácký zápis limity — Hlavně ne takovéhle značení

1. Základní postuláty STR, Lorentzova transformace

Einsteinův princip relativity: Všechny fyzikální zákony mají stejný tvar ve všech inerciálních soustavách
Princip stálosti rychlosti světla

Chceme, aby ve všech soustavách platilo $x^{2} + y^{2} + z^{2} = c^{2} t^{2}$ . Uvažujeme $x^{'} = x - v t$ , $t^{'} = t + α x$ . Rešením rovnice dostaneme

$β ≔ \frac{v}{c}$
$γ ≔ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$
$x^{'} = γ (x - β c t)$
$y^{'} = y$
$z^{'} = z$
$t^{'} = γ (t - β c^{- 1} t)$

$γ \approx 1 ⟹$ „pomalá“ Lorentzova transformace

Důsledky:

Informace se nemůže šířit rychleji než $c$
Relativita soumístnosti a současnosti (do transformace dosadíme $Δ x, Δ t$ )
Dilatace času $t^{'} = γ^{- 1} t$
Paradox dvojčat
Dopplerův jev
Kontrakce délky $x^{'} = γ x$

2. Relativistické skládání rychlostí, aberace

u_{x}^{'} = \frac{u_{x} - v}{1 - \frac{u_{x} v}{c^{2}}}

u_{y}^{'} = \frac{γ^{- 1} (v) u_{y}}{1 - \frac{u_{x} v}{c^{2}}}

u = \frac{u^{'} + v}{1 + \frac{u^{'} v}{c^{2}}}

Fizeauův pokus: paprsek jde skrz vodu po/proti proudu

Pokud se částice v soustavách $S$ , $S^{'}$ pohybuje pod úhly $θ, θ^{'}$ k ose x, dostaname $\tan θ^{'} = γ^{- 1} \frac{u \sin θ}{u \cos θ - v}$ , pro foton $θ^{'} - θ \approx \tan (θ^{'} - θ) \approx β \sin θ$ — vzorec pro světelnou aberaci

3. Hmotnost, hybnost a energie v STR

Chceme, aby hybnost fungovala podobně jako rychlost, tedy $p_{y, z}^{'} = p_{y, z}$ . Tomu je vyhověno, pokud definujeme $\vec{p} ≔ γ_{u} m \vec{u}$ .

p_{y}^{'} = γ_{u^{'}} m u_{y}^{'} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} s k l \overset{ˊ}{a} d \overset{ˊ}{a} n \overset{ˊ}{ı} \\ r y c h l o s t \overset{ˊ}{ı} \end{array}}}{=} \frac{γ_{u^{'}} γ_{v}^{- 1} u_{y}}{1 - \frac{m u_{x} v}{c^{2}}} = γ_{u} m u_{y} = p_{y}

p_{x}^{'} = \dots = γ_{v} (p_{x} - β c^{- 1} γ_{u} m c^{2}) ≕ γ_{v} (p_{x} - β c^{- 1} E)

V klidu je $E_{0} = m c^{2}$ , tudíž kinetická energie je $E_{k} = E - m c^{2} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} Taylor \end{array}}}{=} m c^{2} (1 + \frac{u^{2}}{2 c^{2}} + \frac{3 u^{4}}{8 c^{4}} + \dots)$

Sílu definujeme podle Newtonova zákona síly $\vec{F} ≔ \frac{d \vec{p}}{d t}, {\vec{F}}^{'} = \frac{d {\vec{p}}^{'}}{d t^{'}}$ . Složitými výpočty můžeme odvodit transformační pravidlo

\vec{F} = (\begin{array}{ccc} 1 & γ_{v} \frac{u_{y} v}{c^{2}} & γ_{v} \frac{u_{z} v}{c^{2}} \\ γ_{v} (1 - \frac{u_{x} v}{c^{2}}) \\ γ_{v} (1 - \frac{u_{x} v}{c^{2}}) \end{array}) {\vec{F}}^{'} = (1 - γ_{v}) \frac{{\vec{F}}^{'} \cdot \vec{v}}{v^{2}} \vec{v} + γ_{v} {\vec{F}}^{'} + \frac{γ_{v}}{c^{2}} \vec{u} \times (\vec{v} \times {\vec{F}}^{'})

Pro $t = 0, {\vec{F}}^{'} = k \frac{{\vec{r}}^{'}}{r^{' 3}}$ máme

\vec{F} = \frac{k γ_{v}}{r^{' 3}} (\vec{r} + \frac{1}{c^{2}} \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{r}))

4. Základní postuláty OTR a jejich experimentální ověření

Obecný princip relativity: Všechny fyzikální zákony mají stejný tvar ve všech ~~inerciálních~~ soustavách
Einsteinův princip ekvivalence: Působení gravitace v inerciální soustavě je ekvivalentní působení setrvačné síly v rovnoměrně zrychlené soustavě

Stáčení perihelia planet — vysvětluje, proč se Merkur nepohybuje přesně po elipse

Ohyb světelných paprsků při pohybu kolem těžkého tělesa

8. Energie soustavy nábojů, hustota energie elektrického pole

W = \frac{k}{2} \sum_{α \neq β} \frac{q_{α} q_{β}}{r_{α β}}

W = \frac{k}{2} \int_{V} \int_{V} \frac{ρ_{1} ρ_{2}}{r_{12}} d V_{1} d V_{2}

Neexistuje stabilní rovnováha (Earnshawova věta)

φ = k \sum_{β} \frac{q_{β}}{r_{β}} ∴ W = \frac{1}{2} \sum_{α} q_{α} φ_{α}

W = \frac{1}{2} \int_{V} ρ φ d V \overset{\overset{}{\begin{array}{c} Maxwell \end{array}}}{=} - \frac{ε_{0}}{2} \int_{V} φ \nabla^{2} φ d V = \dots \overset{\overset{}{V \to \infty}}{=} \frac{ε_{0}}{2} \int_{\infty} E^{2} d V ≕ \int_{\infty} w d V

9. Gaussův zákon

Tok elektrického pole

Φ ≔ \int_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S}

U koule kolem jednoho náboje

Φ = \frac{q}{ε_{0}}

Libovolná plocha má díky zákonu převráceného čtverce stejný tok jako kulová plocha pod stejným prostorovým úhlem $∴$

Φ = \frac{q_{u v n i t \overset{ˇ}{r}}}{ε_{0}}

\oint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S} = \frac{1}{ε_{0}} \int_{V} ρ d V

Platí i za pohybu, jelikož náboj je relativisticky invariantní

10. Maxwellovy rovnice elektrostatického pole a jejich řešení

\oint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S} = \int_{V} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} d V = \frac{1}{ε_{0}} \int_{V} ρ d V

\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ε_{0}}

Elektrické pole je konzervativní

\oint_{l} \vec{E} \cdot d \vec{l} = \int_{S} (\vec{\nabla} \times \vec{E}) \cdot d S = 0

\vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{0}

Můžeme zavést potenciál

\vec{E} = - \vec{\nabla} φ

Druhá Maxwellova rovnice je ekvivalentní jeho existenci, první lze přepsat jako

\nabla^{2} φ = - \frac{ρ}{ε_{0}}

Pro $ρ = 0$ je to Laplaceova-Poissonova rovnice

11. Multipólový rozvoj elektrického pole

Máme nabitou bramboru $V$ kolem počátku souřadnic, hledáme její potenciál v bodě $(0,0, r)$

${\vec{r}}^{'} ≔$ poloha kousku brambory $d V$ , $\vec{R} = \vec{r} - {\vec{r}}^{'}$ , předpokládáme $r ≫ r^{'}$ , $θ ≔ ∠ \vec{r} {\vec{r}}^{'}$ . Potenciál kousku bude

d φ = k \frac{ρ}{R} d V = k ρ d V \frac{1}{\sqrt{r^{2} + r^{' 2} - 2 r r^{'} \cos θ}} = \frac{k ρ d V}{r} (1 + \frac{r^{' 2}}{r^{2}} + 2 \frac{r^{'}}{r} \cos θ)

Když se to roztayloruje jako ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ , vyleze z toho multipólový rozvoj

d φ = k (\frac{ρ d V}{r} + \frac{1}{r^{'} \cos θ ρ d V} + \dots)

Máme $r^{'} \cos θ = z^{'}$ , označíme $\vec{p} ≔ \int_{V} {\vec{r}}^{'} ρ d V$ , potom máme

φ = k \int_{V} (\frac{Q}{r} + \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^{3}} + \dots) d V

$p$ je dobře definované (nezávisí na volbě počátku), pokud $Q = 0$

12. Elektrický dipól a jeho pole

\vec{E} = - \vec{\nabla} φ = k (\frac{3 (\vec{p} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^{5}} - \frac{\vec{p}}{r^{3}})

Bodový dipól lze aproximovat jako dvojici opačných nábojů, $\vec{p} = q \vec{l}$ , působí na něj moment $\vec{D} = \vec{p} \times \vec{E}$

Dipól se natočí do směru pole, čímž získá energii $W = - \vec{p} \cdot \vec{E}$

Síla působící na něj je $F = - \vec{\nabla} W = (\vec{p} \vec{\nabla}) \vec{E}$

14. Vektor elektrické polarizace, polarizovaná tělesa

Nechť hustota dipólů je $N$ , potom vektor polarizace $\vec{P} ≔ N \vec{p}$

φ (\vec{r}) = k \int_{V} \frac{\vec{P} ({\vec{r}}^{'}) \cdot \vec{R}}{R^{3}} d V = \dots = k (\oint_{S} \frac{\vec{P} ({\vec{r}}^{'}) \cdot d S}{R} - \int_{V} \frac{{\vec{\nabla}}^{'} \vec{P} ({\vec{r}}^{'})}{R} d V)

Je to tedy ekvivalentní náboji s hustotou $ρ_{v} ≔ - \vec{\nabla} \cdot \vec{P}$ uvnitř a $σ_{v} ≔ \vec{P} \cdot \vec{n}$ na povrchu

15. Vodiče v elektrostatickém poli

Náboje se nahromadí na povrchu vodiče tak, aby se indukované pole vyrušilo s vnějším

Pokud z povrchu vyřízneme malou plošku, ve které je pole rovno $\frac{σ}{2 ε_{0}}$ , zmenší se pole právě o toto množství $∴$ na plošku působí síla $F = q E = Δ S \frac{σ^{2}}{2 ε_{0}}$ a mechanické napětí je tedy $T = \frac{σ^{2}}{2 ε_{0}} = \frac{ε_{0}}{2} E^{2}$

16. Základní úloha elektrostatiky

Máme vodiče v prostoru, známe $S_{i}, Q_{i}, φ_{i}$

Náboje se rozloží tak, aby energie byla minimální (Thomsonova věta)

Chceme najít potenciál splňující $\nabla^{2} φ = 0$ s okrajovými podmínkami $φ (\vec{r}) = φ_{i} | \vec{r} \in S_{i}$

Jelikož vodiče jsou konečné, máme $\lim_{r \to \infty} φ (\vec{r}) = 0$

Dá se řešit metodou elektrostatického zobrazení: pokud má někde být uzemnění ( $φ = 0$ ), můžeme kolem toho soustavu zrcadlit

17. Kapacita, kondenzátor, energie kondenzátoru

Jeden vodič má kapacitu $C ≔ \frac{Q}{φ}$

Soustava vodičů má kapacitní koeficienty; $\vec{Q} = ℂ \vec{φ}$

Obráceně máme potenciálové koeficienty $\vec{φ} = 𝔹 \vec{Q}$

Výsledná energie při nabíjení nezávisí na pořadí nabíjení $∴$ matice $ℂ, 𝔹$ jsou symetrické

Kondenzátor = dva opačně nabité vodiče (elektrody) vedle sebe, mezi kterými jdou siločáry a neunikají ven (tedy dvě konečné desky nejsou dokonalý kondenzátor)

U nenabitého kondenzátoru $φ_{1} = φ_{2} ∴ ℂ = (\begin{array}{cc} C & C \\ C & C \end{array})$ , $C = \frac{Q}{U}$ je kapacita kondenzátoru

W = \frac{Q U}{2} = \frac{C U^{2}}{2} = \frac{Q^{2}}{2 C}

E = \frac{σ}{ε_{0}} = \frac{Q}{ε_{0} S}

U = E d = \frac{Q d}{ε_{0} S}

C = \frac{ε_{0} S}{d}

W = \frac{C U^{2}}{2} = \frac{ε_{0} S E^{2} d^{2}}{2 d} = w V

18. Elektrostatické pole v dielektriku, vektor elektrické indukce

Dielektrikum se skládá z dipólů

Nedokonalé dielektrikum má kromě vázaných nábojů $ρ_{v}$ i volné $ρ$ , celkem $ρ_{c}$

\vec{\nabla} \cdot \vec{E} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} Maxwell \end{array}}}{=} \frac{ρ + ρ_{v}}{ε_{0}} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} polarizace \end{array}}}{=} \frac{ρ - \vec{\nabla} \cdot \vec{P}}{ε_{0}}

\underset{v e k t o r e l e k t r i c k \overset{ˊ}{e} i n d u k c e}{\underset{⏟}{\vec{D} ≔ ε_{0} \vec{E} + \vec{P}}} ⟹ \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = ρ

Vektor elektrické indukce umožňuje počítat vlastnosti dielektrika jenom podle hustoty volných nábojů, ale na rozdíl od vektoru elektrického pole nemá sám o sobě význam

Pokud je $\vec{P}$ konstantní, jde o tvrdé dielektrikum

Pokud se dielektrikum polarizuje podle vnějšího pole, jde o polární dielektrikum

Pro ideálně měkké dielektrikum platí $\vec{P} = ε_{0} χ \vec{E}$ , kde $χ$ je elektrická susceptibilita

\vec{D} = ε_{0} \vec{E} + \vec{P} = ε_{0} (1 + χ) \vec{E} ≕ ε_{0} ε_{r} \vec{E} ≕ ε \vec{E}

19. Stacionární elektrický proud a pole

Pokud se náboj pohybuje skrz nějakou plochu, definujeme proud $I ≔ \dot{Q}$ , hustotu proudu $d I ≕ \vec{j} \cdot d \vec{S}$

Pokud proud teče po ploše, zavádíme lineární hustotu $d I ≕ \vec{α} \cdot \vec{n} d l$

Z úvahy o rovnoběžnostěnu se dá odvodit $\vec{j} = ρ \vec{v}, \vec{α} = σ \vec{v}$

Gaussův zákon stále platí, tedy i Maxwellova rovnice $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ε_{0}}$

Je experimentálně potvrzeno, že pole stacionárního proudu je konzervativní, tedy platí i druhá Maxwellova rovnice $\vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{0}$

Od Maxwellových rovnic pro elektrostatiku se liší okrajovými podmínkami — potenciál uvnitř vodiče není nulový a na povrchu není konstantní

Také už nepůsobí jen elektrická síla, ale z experimentu plyne, že i jiná (magnetická, později vysvětleno relativitou)

21. Ohmův zákon

Ohmův zákon udává pro některé materiály za určitých podmínek vztah mezi napětím a proudem

Následující vzorečky vyplývají z experimentu; $ρ, σ$ nejsou hustoty náboje, ale měrný odpor/vodivost!

\begin{matrix} I = \frac{U}{R} = G U & (i n t e g r \overset{ˊ}{a} l n \overset{ˊ}{ı} t v a r) \end{matrix}

R = \frac{ρ L}{S}

G = \frac{σ S}{L}

Pokud uvažujeme tenké vlákno tloušťky $Δ S$ , máme

Δ I = U Δ G = \frac{U σ Δ S}{L} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} definice \\ n a p \overset{ˇ}{e} t \overset{ˊ}{ı} \end{array}}}{=} σ E Δ S = σ \vec{E} \cdot δ \vec{S}

\begin{matrix} \vec{j} = σ \vec{E} & (d i f e r e n c i \overset{ˊ}{a} l n \overset{ˊ}{ı} t v a r) \end{matrix}

$\vec{j}$ a $\vec{E}$ mohou mít v anizotropním prostředí různý směr, potom musíme uvažovat $σ$ jako matici

R_{s \overset{ˊ}{e} r i o v \overset{ˊ}{e}} = \sum_{i} R_{i}

G_{p a r a l e l n \overset{ˊ}{ı}} = \sum_{i} G_{i}

22. Klasická teorie vodivosti

Proud je zprostředkováván volnými nabitými částicemi o náboji $q$ a hmostnosti $m$ . Podle Ohmova zákona je jejich uspořádaná rychlost:

u = \frac{j}{n q} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} Ohm \end{array}}}{=} \frac{σ E}{n q}

Aby byl proud ustálený, síla elektrického pole je vyvažována Langevinovou silou (tření mezi částicemi)

Částice se vesele pohybuje a pořád se u toho sráží s ostatními částicemi: mezi srážkami urazí vzdálenost $λ$ (střední volnou dráhu), uplyne čas $τ$ (střední doba života), střední srážkovou frekvenci značíme $ν$

ν = \frac{1}{τ} = \frac{v}{λ}

Ze zákona síly máme pro Langevinovu sílu

{\vec{F}}_{L} = - m \vec{a} = - \frac{m {\vec{u}}_{max}}{τ} = - 2 m ν \vec{u}

Aby byl pohyb ustálený, musí se rovnat negaci elektrické síly

{\vec{F}}_{E} = q \vec{E} = \frac{q^{2} n \vec{u}}{σ}

2 m ν \vec{u} = \frac{q^{2} n \vec{u}}{σ}

σ = \frac{q^{2} n}{2 m ν} = \frac{q^{2} n λ}{2 m v}

$v$ závisí na teplotě, tedy i $σ$ . U srážek s neutrálními částicemi je $σ \propto Θ^{- \frac{1}{2}}$ , u srážek s nabitými částicemi $σ \propto Θ^{\frac{3}{2}}$

23. Tohmanův-Stewartův pokus

Zatřepeme vodičem, čímž bude na nabité částice působit setrvačná síla a vytvoří proud, tedy i napětí

F = m a = \frac{m v}{t} = q E

U = E l = \frac{m v l}{q t}

Q = I t \overset{\overset{}{\begin{array}{c} Ohm \end{array}}}{=} \frac{U t}{R} = \frac{m v l}{q R}

Můžeme změřit všechno kromě $\frac{q}{m}$ , to tedy dopočteme

Pokud použijeme vzoreček z klasické teorie vodivosti, zjistíme experimentálně, že nefunguje $⟹$ vodivost kovů nelze popsat klasickou fyzikou (vysvětluje ji kvantová fyzika)

27. Jouleův zákon

Energie dodaná zdrojem se mění v tepelnou energii

\begin{matrix} P = \dot{A} = U \dot{Q} = U I = R I^{2} = G U^{2} & (i n t e g r \overset{ˊ}{a} l n \overset{ˊ}{ı} t v a r) \end{matrix}

W = R I^{2} t

P = R I^{2} = \frac{ℰ^{2} R}{{(R + R_{i})}^{2}}

Maximum je při $R = R_{i}$ — zátěž je přizpůsobená zdroji

Pro tenké vlákno:

Δ P = U Δ I = E L \vec{j} \cdot Δ \vec{S} = \vec{j} \cdot \vec{E} Δ V

p ≔ \frac{d P}{d V} = \vec{j} \cdot \vec{E} = σ E^{2} = ρ j^{2}

(kde opět $ρ, σ$ jsou měrný odpor/vodivost)

28. Elektrické pole pohybujícího se náboje

Pro pohybující se náboj neplatí Coulombův zákon, musíme použít Gaussův zákon, který je obecnější

Postupujeme obráceně než u elektrostatiky — změříme elektrické pole kolem náboje a podle něj stanovíme náboj

q = ε_{0} \oint_{koule} \vec{E} \cdot d \vec{S}

Vezmeme kondenzátor orientovaný ve směru $z$ pohybující se ne směru $x$ . V klidu by měl intenzitu $E_{0} = \frac{σ_{0}}{ε_{0}}$ , díky kontrakci délek bude $S = γ^{- 1} S_{0}$ a náboj je invariantní, takže

σ = \frac{Q}{S} = \frac{Q γ}{S_{0}} = γ σ_{0}

E = \frac{σ}{ε_{0}} = γ \frac{σ_{0}}{ε_{0}} = γ E_{0}

Máme-li soustavy $S, S^{'}$ a budeme natáčet kondenzátor do všech směrů, dostaneme

\vec{E} = (\begin{array}{ccc} 1 \\ γ \\ γ \end{array}) {\vec{E}}^{'}

Mějme teď bodový náboj v bodě $O^{'}$ v čase $t = 0$ . Lorentzova transformace je tedy pouze $x^{'} = γ x$ . V soustavě $S^{'}$ bude platit Coulombův zákon.

(\begin{array}{ccc} 1 \\ γ^{- 1} \\ γ^{- 1} \end{array}) \vec{E} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} p \overset{ˇ}{r} e d c h o z \overset{ˊ}{ı} \\ \overset{ˊ}{u} v a h a \end{array}}}{=} {\vec{E}}^{'} = \frac{k q}{r^{' 3}} {\vec{r}}^{'} = \frac{k q}{r^{' 3}} (\begin{array}{ccc} γ \\ 1 \\ 1 \end{array}) \vec{r}

∴ \vec{E} = \frac{γ k q \vec{r}}{r^{' 3}}

Jelikož $E_{x} : x = E_{z} : z$ , je pole pořád radiální (míří vždy od náboje)

Vypočítáme velikost pole, uvažujeme pouze rovinu $x z$

\begin{aligned} E & = k q γ \frac{r}{r^{' 3}} \\ = k q γ \frac{\sqrt{x^{2} + z^{2}}}{{\sqrt{{(γ x)}^{2} + z^{2}}}^{3}} \\ = k q γ^{- 2} \sqrt{\frac{x^{2} + z^{2}}{{(x^{2} + γ^{- 2} z^{2})}^{3}}} \\ = k q γ^{- 2} \sqrt{\frac{x^{2} + z^{2}}{{(x^{2} + (1 - β^{2}) z^{2})}^{3}}} \\ = k q \frac{1 - β^{2}}{(x^{2} + z^{2}) {(1 - \frac{β^{2} z^{2}}{x^{2} + z^{2}})}^{\frac{3}{2}}} \\ = \frac{k q}{r^{2}} \underset{H e a v i s i d e \overset{˚}{u} v f a k t o r Γ}{\underset{⏟}{\frac{1 - β^{2}}{{(1 - β^{2} \sin^{2} θ)}^{\frac{3}{2}}}}} \end{aligned}

29. Síly mezi pohybujícími se náboji, Lorentzova síla

Chceme zjistit, jakou silou působí náboj $q_{0}$ na náboj $q$

Oba jsou v klidu

\vec{F} = k \frac{q_{0} q \vec{r}}{r^{3}}

$q_{0}$ se pohybuje

\vec{F} = Γ k \frac{q_{0} q \vec{r}}{r^{3}}

$q$ se pohybuje

Nechť $S^{'}$ je soustava náboje $q$ (tedy soustavy jsou obráceně než předtím)

{\vec{F}}^{'} = q {\vec{E}}^{'}

\vec{E} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} p \overset{ˇ}{r} e d t \overset{ˊ}{ı} m \\ odvozeno \end{array}}}{=} (\begin{array}{ccc} 1 \\ γ^{- 1} \\ γ^{- 1} \end{array}) E^{'}

\vec{F} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} r e l a t i v i s t i c k \overset{ˊ}{a} \\ dynamika \end{array}}}{=} (\begin{array}{ccc} 1 \\ γ^{- 1} \\ γ^{- 1} \end{array}) F^{'}

∴ \vec{F} = q \vec{E}

Neplatí tedy zákon akce a reakce (ani by nemohl, protože informace se nemůže šířit okamžitě)

Oba se pohybují

Tentokrát spojíme $S^{'}$ s nábojem $q_{0}$ , koukáme na situaci v bodě $t = 0$

$u, v$ = rychlosti nábojů $q, q_{0}$ v soustavě $S$

{\vec{F}}^{'} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} Coulomb \end{array}}}{=} \frac{k q_{0} q {\vec{r}}^{'}}{r^{' 3}}

\vec{F} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} r e l a t i v i s t i c k \overset{ˊ}{a} \\ dynamika \end{array}}}{=} \frac{k q_{0} q γ}{r^{' 3}} (\vec{r} + \frac{\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{r})}{c^{2}})

\vec{E} = Γ k \frac{q_{0} \vec{r}}{r^{3}}

∴ \vec{F} = q (\vec{E} + \frac{\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{E})}{c^{2}})

Abychom se zbavili závislosti na $\vec{v}$ , zavedeme vektor magnetické indukce

\vec{B} ≔ \frac{\vec{v} \times \vec{E}}{c^{2}} = \frac{μ_{0} q_{0} (\vec{v} \times \vec{r})}{4 π r^{3}}, \underset{permeabilita vakua}{\underset{⏟}{μ_{0} ≔ \frac{1}{c^{2} ε_{0}}}}

Tím dostáváme vzorec pro Lorentzovu sílu

{\vec{F}}_{Lorentz} = q (\vec{E} + \vec{u} \times \vec{B})

33. Biot-Savartův zákon

Stacionární proud je vždy součástí smyčky. Nechť $d \vec{l}$ je kus smyčky.

d \vec{I} = I d \vec{l} = \vec{j} d V = ρ d V \vec{v}

d \vec{B} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} def \end{array}}}{=} \frac{μ_{0} ρ d V (\vec{v} \times \vec{R})}{4 π R^{3}} = \frac{μ_{0} I (d \vec{l} \times \vec{R})}{4 π R^{3}}

\vec{B} = \frac{μ_{0} I}{4 π} \oint_{l} \frac{d \vec{l} \times \vec{R}}{R^{3}}

34. Transformace složek elektromagnetického pole

Z Biot-Savarta se dá odvodit, že vedle roviny je magnetické pole $B = \frac{μ_{0} α}{2}$ orientované kolmo k proudu i normále

Mějme kondenzátor orientovaný ve směru $y$ pohybující se ve směru $x$ rychlostí $u$

Ve směru pohybu tedy teče konvekční proud s lineární hustotou $α = σ u$ , mezi rovinami je

\vec{E} = \frac{σ}{ε_{0}} \vec{y}

\vec{B} = μ_{0} σ u \vec{z}

Vezměme čárkovanou soustavu pohybující se rychlostí $v$

β_{u}^{'} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} s k l \overset{ˊ}{a} d \overset{ˊ}{a} n \overset{ˊ}{ı} \\ r y c h l o s t \overset{ˊ}{ı} \end{array}}}{=} \frac{β_{u} - β_{v}}{1 - β_{u} β_{v}}

{\vec{E}}^{'} = (\begin{array}{ccc} 1 \\ γ \\ γ \end{array}) \vec{E} + β c (\begin{array}{ccc} - γ \\ γ \end{array}) \vec{B}

{\vec{B}}^{'} = (\begin{array}{ccc} 1 \\ γ \\ γ \end{array}) \vec{B} + β c^{- 1} (\begin{array}{ccc} γ \\ - γ \end{array}) \vec{E}

Při $v ≪ c$ je ${\vec{E}}^{'} = \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}, {\vec{B}}^{'} = \vec{B} - \frac{1}{c^{2}} \vec{v} \times \vec{E}$

Invarianty: $\vec{E} \cdot \vec{B}, c^{2} B^{2} - E^{2}$

32. Ampérův zákon

Chceme určit sílu působící na proudový element v elektromagnetickém poli

d \vec{F} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} Lorentz \end{array}}}{=} ρ d V (\vec{E} + \vec{u} \times \vec{B}) = ρ d V \vec{E} + I d \vec{l} \times \vec{B}

Pro neutrální proud ( $ρ = 0$ ) máme

d \vec{F} = I d \vec{l} \times \vec{B} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} Biot-Savart \end{array}}}{=} \frac{μ_{0} I I_{0} (d \vec{l} \times (d {\vec{l}}_{0} \times \vec{R}))}{4 π R^{3}}

Pro dva nekonečné vodiče

\frac{d F}{d l} = \frac{μ_{0} I I_{0}}{2 π r}

31. Maxwellovy rovnice stacionárních polí

Z experimentu vyplývá, že magnetické indukční čáry nemohou odnikud vycházet, a magnetické pole (i nestacionární) je solenoidální, tedy:

Φ ≔ \oint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S} = 0

\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0

Teď chceme zjistit cirkulaci magnetické indukce. Vezmeme nekonečný vodič, pro který je z Biot-Savarta $B = \frac{μ_{0} I}{2 π r}$ , a obepneme kolem něj kružnici. Pro tu zřejmě bude

Γ ≔ \oint_{k r u \overset{ˇ}{z} n i c e} \vec{B} \cdot d \vec{l} = μ_{0} I

Pokud máme křivku, která neobepíná proud, jakýkoli úsek na ní se vyruší s úsekem „na druhé straně“ $∴ Γ = 0$

Pokud křivka obepíná proud, můžeme ji pomocí neobepínajících křivek převést na kružnici, tedy platí

Γ ≔ \oint_{l} \vec{B} \cdot d \vec{l} = μ_{0} I_{p r o c h \overset{ˊ}{a} z e j \overset{ˊ}{ı} c \overset{ˊ}{ı}} = μ_{0} \int_{S} \vec{j} \cdot d S

Pomocí Stokesovy věty dostaneme

\vec{\nabla} \times \vec{B} = μ_{0} \vec{j}

30. Magnetická indukce a vektorový potenciál

Jelikož $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$ , můžeme zavést vektorový potenciál:

\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}

Po dosazení do Ampérova zákona máme

μ_{0} \vec{j} = \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{A}) = \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \nabla^{2} \vec{A}

Vektorový potenciál je možné pomocí kalibrační podmínky zvolit tak, aby jeho divergence byla libovolná, zvolíme tedy $\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = 0$ a máme

\nabla^{2} \vec{A} = - μ_{0} \vec{j}

Tato rovnice je podobná rovnici $\nabla^{2} φ = - \frac{ρ}{ε_{0}}$ z elektrostatiky a pokud ji budeme řešit analogicky, dostaneme Biot-Savartův zákon

36. Magnetický tlak, hustota energie magnetického pole

Vložme proudovou rovinu do homogenního pole $B_{0}$ kolmého k proudu a k normále roviny. Po stranách roviny bude

B_{1} = B_{0} + \frac{μ_{0} α}{2}

B_{1} = B_{0} - \frac{μ_{0} α}{2}

Vyřízneme-li pás délky $d l$ ve směru proudu a $h$ v druhém směru, síla na něj bude

d F = | I d \vec{l} \times {\vec{B}}_{0} | = α h d l B_{0} = α B_{0} d S

p = \frac{d F}{d S} = α B_{0} = \frac{(B_{1} + B_{2}) (B_{1} - B_{2})}{2 μ_{0}} = \frac{Δ (B^{2})}{2 μ_{0}}

p_{m} = w_{m} = \frac{B^{2}}{2 μ_{0}}

Hustota energie elektromagnetického pole

w = w_{e} + w_{m} = \frac{ε_{0} E^{2}}{2} + \frac{B^{2}}{2 μ_{0}}

46. Magnetický dipól a jeho pole

Méjme nějaký objem, ve kterém jsou proudy. Analogicky jako v elektrostatice můžeme provést multipólový rozvoj:

\vec{A} = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{V} \frac{\vec{j}}{R} d V = \frac{μ_{0}}{4 π} (\frac{1}{r} \underset{0}{\underset{⏟}{\int_{V} \vec{j} d V}} + \frac{1}{r^{3}} (\vec{m} \times \vec{r}) + \dots)

\vec{m} ≔ \frac{1}{2} \int_{V} ({\vec{r}}^{'} \times \vec{j}) d V

Pro malou smyčku s proudem (magnetický dipól) je $\vec{m} = I d \vec{S}$ a magnetická indukce:

\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A} = \frac{μ_{0}}{4 π} \vec{\nabla} \times \frac{\vec{m} \times \vec{r}}{r^{3}} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} ??? \end{array}}}{=} - \frac{μ_{0}}{4 π} \vec{\nabla} \frac{\vec{m} \cdot \vec{r}}{r^{3}} = \frac{μ_{0}}{4 π} (\frac{3 (\vec{m} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^{5}} - \frac{\vec{m}}{r^{3}})

Analogicky jako v elektrostatice:

\vec{F} = (\vec{m} \vec{\nabla}) \vec{B}

\vec{D} = \vec{m} \times \vec{B}

W = - \vec{m} \cdot \vec{B}

47. Vektor magnetizace a intenzity magnetického pole, magnetika

Mějme $N$ magnetických dipólů, zavedeme vektor magnetizace $\vec{M} = N \vec{m}$

Analogicky jako v elektrostatice:

\vec{A} = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{V} \frac{\vec{M} ({\vec{r}}^{'}) \times \vec{R}}{R^{3}} d V = \dots = \frac{μ_{0}}{4 π} (\oint_{S} \frac{{\vec{α}}_{m} ({\vec{r}}^{'}) \cdot d S}{R} + \int_{V} \frac{{\vec{j}}_{m} ({\vec{r}}^{'})}{R} d V)

Je to tedy ekvivalentní proudu s hustotou ${\vec{j}}_{m} ≔ \vec{\nabla} \times \vec{M}$ uvnitř a ${\vec{α}}_{m} ≔ \vec{M} \times \vec{n}$ na povrchu

Magnetikum je těleso tvořené magnetickými dipóly, obsahuje volné proudy $\vec{j}$ a vázané proudy ${\vec{j}}_{m}$

\vec{\nabla} \times \vec{B} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} Maxwell \end{array}}}{=} μ_{0} (\vec{j} + {\vec{j}}_{m}) \overset{\overset{}{\begin{array}{c} magnetizace \end{array}}}{=} μ_{0} (\vec{j} + \vec{\nabla} \times \vec{M})

\underset{v e k t o r i n t e n z i t y m a g n e t i c k \overset{ˊ}{e} h o p o l e}{\underset{⏟}{\vec{H} = \frac{\vec{B}}{μ_{0}} - \vec{M}}} ⟹ \vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{j}

Ampérův zákon:

\oint_{l} \vec{H} \cdot d \vec{l} = \int_{S} \vec{j} d \vec{S} = I_{v o l n \overset{ˊ}{y}} \overset{p r o \overset{ˇ}{c} n e ?}{≕} ℰ_{m}

U diamagnetik (látek bez vlastních magnetických momentů) se momenty indukují. Pro ideálně měkká magnetika platí $\vec{M} = κ \vec{H}$ , kde $κ$ je magnetická susceptibilita.

\vec{B} = μ_{0} (\vec{H} + \vec{M}) = μ_{0} (1 + κ) \vec{H} ≕ μ_{0} μ_{r} \vec{H} ≕ μ \vec{H}

V magneticky anizotropních materiálech je $μ$ matice

Pokud vložíme magnetikum do homogenního magnetického pole ${\vec{B}}_{0}$ , bude uvnitř $\vec{B} = {\vec{B}}_{0} + μ_{0} \vec{M}$

w_{m} = \frac{B^{2}}{2 μ} = \frac{\vec{H} \cdot \vec{B}}{2}

37. Pohyb nabité částice v elektromagnetickém poli

m \dot{\vec{v}} = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})

Pro homogenní, čistě elektrické pole je situace stejná jako pro tíhové pole

Pro homogenní, čistě magentické pole dostaneme pohyb ve tvaru šroubovice o cyklotronovém poloměru $r_{c}$ :

v_{x} = v_{0 ⟂} \cos (ω_{c} t + δ)

v_{y} = - v_{0 ⟂} \sin (ω_{c} t + δ)

$ω_{c} ≔ \frac{q B}{m}$ je cyklotronová frekvence

Dobře se to řeší tím, že se rychlost vezme jako komplexní číslo

Rovnice pro obecné homogenní pole:

\dot{u} + i \frac{q B}{m} u = i \frac{q E}{m}

Partikulární řešení je $u = \frac{E}{B} ≕ v_{d}$ — driftová rychlost

To se sečte s homogenním řešením (šroubovicí), čímž vznikne zkrácená/prodloužená šroubovice

Drift může být také způsoben jinými silami

38. Hallův jev

Mějme vodič tvaru kvádru, proud jde ve směru $y$ . Působí na něj magnetické pole ve směru $z$ a elektrické pole v rovině $y z$ . Magnetické pole ovlivňuje směr částic v rovině $x y$ , takže vodivost bude

σ = (\begin{array}{ccc} σ_{1} & σ_{2} \\ - σ_{2} & σ_{1} \\ σ_{3} \end{array})

j_{z} = σ_{3} E_{z} = \frac{q^{2} n}{2 m ν} E_{z}

Zaveďme efektivní elektrické pole ${\vec{E}}_{ef} ≔ \vec{E} + \vec{u} \times \vec{B}$

\vec{j} = σ {\vec{E}}_{ef} = σ (\vec{E} + \frac{\vec{j}}{n q} \times \vec{B})

Zároveň rozepíšeme $\vec{j}$ do složek podle $\vec{j} = σ \vec{E}$ s tím, že $E_{x} = 0$ :

\vec{j} = σ_{2} E_{y} \vec{x} + σ_{1} E_{y} \vec{y} + σ_{3} E_{z} \vec{z}

Porovnáním dostaneme:

σ_{1} = σ_{3} - \frac{σ_{3} σ_{2} B}{n q} = σ_{3} - \frac{σ_{2} ω_{c}}{ν}

σ_{2} = \frac{σ_{3} σ_{1} B}{n q} = \frac{σ_{1} ω_{c}}{ν}

Řešením soustavy dostaneme

σ_{1} = \frac{σ_{3}}{1 + \frac{ω_{c}^{2}}{ν_{2}}}

σ_{2} = \frac{σ_{3} \frac{ω_{c}}{ν}}{1 + \frac{ω_{c}^{2}}{ν_{2}}}

$j_{y} = σ_{1} E_{y}$ je přímý proud, $j_{x} = σ_{2} E_{y}$ je Hallův proud

Nechť $a, b$ jsou hrany vodiče ve směru $x, z$ . Dáme ho do slabého magnetického pole a pustíme jím proud $I = a b j = a b n q u$ . Ve směru $x$ bude působit síla $F \overset{\overset{}{\begin{array}{c} Lorentz \end{array}}}{=} q u B$ . Tím vzniká na bocích napětí $U \overset{\overset{}{\begin{array}{c} def \end{array}}}{=} b \frac{F}{q} = b u B = \frac{I B}{n q a} ≕ K \frac{I B}{a}$ , kde $K$ je Hallova konstanta pro daný vodič

40. Faradayův zákon

Vezměme vodič ve tvaru tyčky ve směru $x$ , pohybujme s ním ve směru $y$ v magnetickém poli ve směru $z$

Na volné náboje bude působit síla $q (\vec{v} \times \vec{B})$ , která bude vykompenzována ekvivalentním elektrickým polem o velikosti $\vec{E} = - \vec{v} \times \vec{B}$

Vezměme obdélníkovou smyčku kolmou k magnetickému poli. Délky stran jsou $a, b$ ve směrech $y, x$ , tedy pole je ve směru $z$ . Smyčka se pohybuje ve směru $y$ . Nechť se magnetické pole ve směru $y$ mění z $B_{1}$ na $B_{2}$ , potom

\oint_{l} \vec{F} \cdot d \vec{l} = q v (B_{1} - B_{2}) b ≕ q ℰ_{i n d u k o v a n \overset{ˊ}{e}}

Smyčka se za čas $d t$ posune o vzdálenost $v d t$ . Indukční tok se změní o $d Φ = (B_{2} - B_{1}) b v d t$ . Tudíž platí vztah

\begin{matrix} ℰ_{i n d u k o v a n \overset{ˊ}{e}} = - \dot{Φ} & (i n t e g r \overset{ˊ}{a} l n \overset{ˊ}{ı} t v a r) \end{matrix}

\oint_{l} \vec{E} \cdot d \vec{l} = - \frac{d}{d t} \int_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S}

\begin{matrix} \vec{\nabla} \times \vec{E} = \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} & (d i f e r e n c i \overset{ˊ}{a} l n \overset{ˊ}{ı} t v a r) \end{matrix}

41. Maxwellovy rovnice elektromagnetického pole, posuvný proud

Již víme, že pro elektromagnetické pole platí:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ε_{0}}$ (Gaussův zákon)
$\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ (Faradayův zákon)
$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$ (neexistence magnetického monopólu)
$\vec{\nabla} \times \vec{B} = μ_{0} \vec{j} + ?$ (Ampérův zákon — chceme zjistit, jak ho upravit pro elektromagnetické pole)

Z důvodu symetrie můžeme předpokládat, že $? = ξ \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ pro nějakou konstantu $ξ$ . Aplikujeme divergenci na obě strany, přičemž divergence rotace je vždy $0$ :

0 = \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B}) = μ_{0} \vec{\nabla} \cdot \vec{j} + ξ \vec{\nabla} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} Gauss \end{array}}}{=} μ_{0} (\vec{\nabla} \cdot j + \frac{ξ}{ε_{0} μ_{0}} \frac{\partial ρ}{\partial t})

Podle rovnice kontinuity má platit:

\vec{\nabla} \cdot \vec{j} = - \frac{\partial ρ}{\partial t}

Tedy položíme-li $ξ = ε_{0} μ_{0} = \frac{1}{c^{2}}$ , dostaneme to samé. Tím vzniká Ampérův zákon pro elektromagnetické pole a nový člen se nazývá Maxwellův posuvný proud:

\vec{\nabla} \times B = μ_{0} \vec{j} + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

Jelikož $\frac{1}{c^{2}}$ je hodně malá rychlost, posuvný proud se projevuje pouze při vysokých frekvencích

39. Indukčnost, solenoid a energie solenoidu

prof. Chadzitaskos hrající si s dlouhou duhovou pružinkou — Solenoid

L ≔ \frac{N φ}{I} = \frac{N B S}{I}

Po vložení magnetika se indukčnost zvětší $μ_{r}$ -krát

Pro více smyček platí $\vec{Φ} = L \vec{I}$ , kde $L$ je matice indukčních koeficientů. Její prvky na diagonále jsou vlastní indukčnosti a ostatní jsou vzájemné indukčnosti (také se označují $M$ , protože proč ne)

Platí vzájemnost indukčností ( $M_{i k} = M_{k i}$ ), což lze ověřit energetickou úvahou nebo takto: Mějme dvě smyčky. Potom

M_{12} = \frac{Φ_{12}}{I_{2}} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} def \end{array}}}{=} \frac{1}{I_{2}} \int_{S} \vec{B} \cdot d S \overset{\overset{}{\begin{array}{c} Stokes \end{array}}}{=} \frac{1}{I_{2}} \oint_{l} \vec{A} \cdot d \vec{l} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} u p r a v e n \overset{ˊ}{y} \\ Biot-Savart \end{array}}}{=} \frac{μ_{0}}{4 π} \oint_{l_{1}} \oint_{l_{2}} \frac{d {\vec{l}}_{1} \cdot d {\vec{l}}_{2}}{R} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} symetrie \end{array}}}{=} M_{21}

Jiná definice indukčnosti je pomocí Faradayova zákona:

ℰ_{i} = - {\dot{Φ}}_{i} = - \sum_{k} L_{i k} {\dot{I}}_{k}

Pro jednu smyčku je tedy $ℰ = - L \dot{I}$

Ohmův zákon pro obvod s rezistory a cívkami:

ℰ = R I + L \dot{I}

Práce potřebná k vytvoření magnetického pole v cívce:

W = \int P = \int ℰ I = \int L I \frac{d I}{d t} d t = \int_{0}^{I} L I d I = \frac{L I^{2}}{2} = \frac{Φ I}{2}

Z toho plyne, že pokud známe energii magnetického pole, můžeme určit indukčnost

43. Přechodové stavy v RC a RL obvodu

RLC obvod obecně obsahuje odpor, cívku a kondenzátor. Pro sériové zapojení platí

ℰ = R I + L \dot{I} + U_{k o n d e n z \overset{ˊ}{a} t o r}

Q = C U

I = \dot{Q}

Pro RC obvod z těchto vztahů sestavíme diferenciální rovnici

\dot{Q} + \frac{Q}{R C} = \frac{ℰ}{R}

Po vyřešení máme

Q = K \exp (- \frac{1}{R C}) + ℰ C

Konstantu $K$ určíme z počátečních podmínek

Pro RL obvod máme rovnici

\dot{I} + \frac{R I}{L} = \frac{E}{L}

kterou řešíme analogicky

45. Rezonance v sériovém RLC obvodu

Pro úplný RLC obvod dostaneme

\ddot{U} + \frac{R \dot{U}}{L} + \frac{U}{L C} = \frac{ℰ}{L C}

Ta je analogická rovnici pro vynucené kmity z mechaniky

\ddot{x} + 2 δ \dot{x} + ω_{0}^{2} x = f

ω_{0} ≔ \frac{1}{\sqrt{L C}}

δ ≔ \frac{R}{2 L}

ω = \sqrt{ω_{0}^{2} - δ^{2}}

Homogenní řešení:

U = U_{0} \exp (- δ t) \sin (ω t + φ_{0})

I = C \dot{U} = \dots = I_{0} \exp (- δ t) \sin (ω t + α)

α ≔ \arctan \frac{- δ}{ω}

Tedy proud je posunutý oproti napětí o $α$

Nehomogenní řešení se střídavým napětím $ℰ = ℰ_{0} \cos Ω t$ :

U = U_{0} \sin (Ω t + φ_{0})

(Měli bychom přičíst homogenní řešení, ale to je tlumené, takže po chvíli začne být zanedbatelné)

φ_{0} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} mechanika \end{array}}}{=} \arctan \frac{ω_{0}^{2} - Ω^{2}}{2 δ Ω} = \arctan (\frac{1}{R Ω C} - \frac{Ω L}{R})

U_{0} = \frac{ℰ_{0}}{R C Ω} \cos φ_{0}

I = C \dot{U} = C U_{0} Ω \cos (Ω t + φ_{0}) ≕ I_{0} \cos (Ω t + φ_{0})

44. Impedance

Je-li $A = A_{0} \cos (Ω t + α)$ , definujeme fázor $\hat{A} ≔ A_{0} \exp i α$ . Pro sériový RLC obvod máme

\hat{ℰ} = ℰ_{0}

\hat{I} = I_{0} \exp i φ_{0}

Z ≔ \frac{\hat{ℰ}}{\hat{I}} = \frac{ℰ_{0}}{I_{0}} \exp (- i φ_{0}) ≕ Z_{0} \exp (- i φ_{0})

Z_{0} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} p \overset{ˇ}{r} e d c h o z \overset{ˊ}{ı} \\ \overset{ˇ}{c} \overset{ˊ}{a} s t \end{array}}}{=} \sqrt{R^{2} + {(Ω L - \frac{1}{Ω C})}^{2}}

Z \overset{\overset{}{\begin{array}{c} ??? \end{array}}}{=} R + i (Ω L - \frac{1}{Ω C}) ≕ R + i X

$X$ = impedance, $R$ = rezistance, $X$ = reaktance, $Ω L$ = induktance, $\frac{1}{Ω C}$ = kapacitance

Y ≔ \frac{1}{Z} ≕ G + i S

$Y$ = admitance, $G$ = konduktance, $S$ = susceptance

41. Maxwellovy rovnice elektromagnetického pole (pokračování)

Zjistili jsme, že elektrické pole v kombinaci s magnetickým již není potenciální. Máme ale

\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = - \vec{\nabla} \times \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}

\vec{\nabla} \times (\vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}) = 0

\vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} ≕ - \vec{\nabla} φ

Stačí tedy řešit rovnice pro $φ$ a $\vec{A}$ a dopočítat

\vec{B} = - \vec{\nabla} \times \vec{A}

\vec{E} = - \vec{\nabla} φ - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}

Dosazením do dvou Maxwellových rovnic, které jsme ještě nepoužili, dostaneme

\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} φ + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}) = - \frac{ρ}{ε_{0}}

\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{A}) = μ_{0} \vec{j} - ε_{0} μ_{0} \frac{\partial}{\partial t} (\vec{\nabla} φ + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t})

Úpravou získáme

\nabla^{2} φ = - \frac{ρ}{ε_{0}} - \frac{\partial \vec{\nabla} \cdot \vec{A}}{\partial t}

\nabla^{2} \vec{A} - ε_{0} μ_{0} \frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial t^{2}} = - μ_{0} j + \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot A + ε_{0} μ_{0} \frac{\partial φ}{\partial t})

Jelikož máme volnost ve volbě $A$ , můžeme splnit Lorentzovu kalibrační podmínku $\vec{\nabla} \cdot A = - ε_{0} μ_{0} \frac{\partial φ}{\partial t}$ , čímž se to výrazně vyhezčí:

\nabla^{2} φ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} φ}{\partial t^{2}} = - \frac{ρ}{ε_{0}}

\nabla^{2} \vec{A} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} A}{\partial t^{2}} = - μ_{0} \vec{j}

Pokud definujeme $□ ≔ \nabla^{2} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}$ , rovnice se vyhezčí ještě víc:

□ φ = - \frac{ρ}{ε_{0}}

□ \vec{A} = - μ_{0} \vec{j}

42. Elektromagnetická vlna

Ukazuje se, že Maxwellovy rovnice s $ρ = 0, \vec{j} = \vec{0}$ mají netriviální řešení, tedy elektromagnetické pole může existovat nezávisle na náboji a proudu — to se nazývá elektromagnetická vlna

Předpokládejme, že $\vec{\nabla} \cdot A = 0, φ = 0$ a všechno závisí pouze na souřadnici $z$ . Z rovnice $□ \vec{A} = μ_{0} j$ máme

\frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial z^{2}} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial t^{2}} = 0

Řešení je

\vec{A} = {\vec{A}}_{0} \cos (ω t - k z + α), \frac{ω}{k} = c

Abychom splnili podmínku, můžeme si vybrat třeba $\vec{A} = A \vec{x}$ . Z toho dostaneme

\vec{E} = ω A_{0} \sin (ω t - k z + α) \vec{x}

\vec{B} = k A_{0} \sin (ω t - k z + α) \vec{y}

49. Maxwellovy rovnice v látkovém prostředí

Lorentzovy rovnice:

$\vec{\nabla} \cdot {\vec{E}}_{l} = \frac{ρ_{l}}{ε_{0}}$
$\vec{\nabla} \times {\vec{E}}_{l} = - \frac{\partial {\vec{B}}_{l}}{\partial t}$
$\vec{\nabla} \cdot {\vec{B}}_{l} = 0$
$\vec{\nabla} \times {\vec{B}}_{l} = μ_{0} {\vec{j}}_{l} + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial {\vec{E}}_{l}}{\partial t}$

Přechod od mikroskopických k makroskopickým veličinám:

⟨ {\vec{E}}_{l} ⟩ = \vec{E}, ⟨ {\vec{B}}_{l} ⟩ = \vec{B}, ⟨ ρ_{l} ⟩ = ρ + ρ_{v}, ⟨ {\vec{j}}_{l} ⟩ = \vec{j} + {\vec{j}}_{m} + {\vec{j}}_{p}

ρ_{v} = - \vec{\nabla} \cdot \vec{P}

{\vec{j}}_{m} = \vec{\nabla} \times \vec{M}

{\vec{j}}_{p} = \frac{\partial \vec{P}}{\partial t}

Pokud opět zavedeme

\vec{D} ≔ ε_{0} \vec{E} + \vec{P} = ε \vec{E}

\vec{H} ≔ \frac{\vec{B}}{μ_{0}} - \vec{M} = \frac{\vec{B}}{μ}

máme konečnou podobu rovnic

$\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = ρ$
$\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$
$\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{j} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$