Cvičení z Matematické analýzy 1, 2

Organizace

Jiří Mikyška, T-109b, jiri.mikyska@fjfi.cvut.cz

Maximálně 4 absence za semestr

Na začátku každé hodiny minutový testík

Zápočet je za testy psané při přednáškách, k tomu bonusové body od cvičícího (0–10)

Cvičení. Je dána funkce

f : ℂ ∖ {1} \to ℂ, y = \frac{x + 1}{x - 1}

. Zjistěte obor hodnot, dokažte, že je prostá, a najděte inverzi.

Řešení.

y (x + 1) = x - 1

x = x y - y - 1

x - x y = - y - 1

x (1 - y) = - y - 1

y = 1 \to n e m \overset{ˊ}{a} \overset{ˇ}{r} e \overset{ˇ}{s} e n \overset{ˊ}{ı}

y \neq 1 \to x = \frac{y + 1}{y - 1}

$f$ má obor hodnot $ℂ ∖ {1}$ , je prostá a inverzí sama sebe.

Cvičení. Najděte obor hodnot funkce

f : ℝ \to ℝ, y = \frac{x}{x^{2} + 1}

Řešení.

y (x^{2} + 1) = x

y x^{2} + x = y

y x^{2} - x + y = 0

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 y^{2}}}{2 y}

1 - 4 y^{2} \geq 0

4 y^{2} \leq 1

| 2 y | \leq 1

y \in ⟨ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩

Věta.

\sinh

je prostá funkce.

Důkaz.

\frac{e^{a} - e^{- a}}{2} = \frac{e^{b} - e^{- b}}{2}

e^{a} - e^{- a} = e^{b} - e^{- b}

e^{a} e^{b} (e^{a} - e^{- a}) = e^{a} e^{b} (e^{b} - e^{- b})

e^{b} (e^{2 a} - 1) = e^{a} (e^{2 b} - 1)

e^{b} e^{2 a} - e^{b} = e^{a} e^{2 b} - e^{a}

e^{a} e^{b} (e^{a} - e^{b}) + (e^{a} - e^{b}) = 0

(e^{a} - e^{b}) \underset{> 1}{\underset{⏟}{(e^{a} e^{b} + 1)}} = 0

e^{a} - e^{b} = 0

a = b

Věta.

\sinh^{- 1} (x) = argsinh (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})

Důkaz.

x = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}

2 x = e^{y} - e^{- y}

2 x = e^{y} - \frac{1}{e^{y}}

2 x = \frac{e^{2 y} - 1}{e^{y}}

(e^{y})^{2} - 2 x e^{y} - 1 = 0

e^{y} = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} + 4}}{2}

e^{y} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1}

e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1} ∵ e^{y} > 0

y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})

Věta.

\cosh

zúžená na

ℝ_{0}^{+}

je prostá funkce.

Důkaz.

\frac{e^{a} + e^{- a}}{2} = \frac{e^{b} + e^{- b}}{2}

e^{a} + e^{- a} = e^{b} + e^{- b}

e^{a} e^{b} (e^{a} + e^{- a}) = e^{a} e^{b} (e^{b} + e^{- b})

e^{b} (e^{2 a} + 1) = e^{a} (e^{2 b} + 1)

e^{b} e^{2 a} + e^{b} = e^{a} e^{2 b} + e^{a}

e^{a} e^{b} (e^{a} - e^{b}) - (e^{a} - e^{b}) = 0

(e^{a} - e^{b}) (e^{a} e^{b} - 1) = 0

e^{a} - e^{b} = 0 \lor e^{a} e^{b} = 1

a = b \lor a = - b

Věta. Pro

\cosh

zúženou na

ℝ_{0}^{+}

\cosh^{- 1} (x) = argcosh (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})

Důkaz.

x = \frac{e^{y} + e^{- y}}{2}

2 x = e^{y} + e^{- y}

2 x = e^{y} + \frac{1}{e^{y}}

2 x = \frac{e^{2 y} + 1}{e^{y}}

(e^{y})^{2} - 2 x e^{y} + 1 = 0

e^{y} = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} - 4}}{2}

e^{y} = x \pm \sqrt{x^{2} - 1}

e^{y} = x + \sqrt{x^{2} - 1} ∵ e^{y} \geq 1

y = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})

Věta.

\sinh (2 x) = 2 \sinh (x) \cosh (x)

Důkaz.

\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{2} = \frac{(e^{x})^{2} - (e^{- x})^{2}}{2} = 2 \frac{e^{a} - e^{- a}}{2} \frac{e^{a} - e^{- a}}{2} = 2 \sinh (x) \cosh (x)

Věta.

\cosh (2 x) = \cosh (x)^{2} + \sinh (x)^{2}

Věta.

\cosh (x)^{2} - \sinh (x)^{2} = 1

Cvičení. Určete omezenost množiny

{\frac{1}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}} | n \in ℕ^{+}}

Cvičení. Určete omezenost množiny

{\frac{x + \sqrt{x}}{x - 1} | x \in (1, \infty)}

Cvičení. Dokažte

\sup {\frac{6 n - 5}{27 n - 9 n^{2} - 20} | n \in ℕ^{+}} = 0

Cvičení. Dokažte

\sup {\frac{2 n^{3} - n^{2} + 1}{n^{3} + n - 1} | n \in ℕ^{+} ∖ {1}} = 2

Cvičení. Dokažte

\inf {\frac{1 + (- 1)^{n}}{2} + \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} | n \in ℕ^{+}} = 0

Krásný zápis

\lim (a_{n} \underset{\div}{\underset{\cdot}{\pm}} b_{n}) = \lim a_{n} \underset{\div}{\underset{\cdot}{\pm}} \lim b_{n}

Zajímavý příkládek

Cvičení. Sestrojte posloupnosti

(a_{n}), (b_{n}), (c_{n})

takové, aby

\lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) c_{n} \neq \lim_{n \to \infty} (a_{n} + b) c_{n}

, kde

b = \lim_{n \to \infty} b_{n}

Řešení

a_{n} = \frac{1}{n}, b_{n} = \frac{1}{n}, c_{n} = n

Důkaz součtu čtverců

\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} (k - 1)^{3} & = \sum_{k = 1}^{n} k^{3} - 3 \sum_{k = 1}^{n} k^{2} + 3 \sum_{k = 1}^{n} - \sum_{k = 1}^{n} 1 \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} k^{3} = \sum_{k = 1}^{n} k^{3} - n^{3} \\ 3 \sum_{k = 1}^{n} k^{2} & = n^{3} + 3 \frac{n (n + 1)}{2} - n \\ = \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{2} \\ = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{2} \\ \sum_{k = 1}^{n} k^{2} & = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} \end{aligned}

Obecně

\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} (k^{m + 1} - 1) & = \sum_{l = 0}^{m + 1} (- 1)^{l} \sum_{k = 1}^{n} (\binom{m + 1}{l}) k^{l} \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} k^{m + 1} = \sum_{k = 1}^{n} k^{m + 1} - n^{m + 1} \\ (m + 1) \sum_{k = 1}^{n} k^{m} & = n^{m + 1} + \sum_{l = 0}^{m - 1} (- 1)^{l} \sum_{k = 1}^{n} (\binom{m + 1}{l}) k^{l} \\ \sum_{k = 1}^{n} k^{m} & = \frac{n^{m + 1} + \sum_{l = 0}^{m - 1} (- 1)^{l} \sum_{k = 1}^{n} (\binom{m + 1}{l}) k^{l}}{m + 1} \end{aligned}

Cvičení.

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^{2} + 1} + 2 \sqrt{n + 1}}{\sqrt[4]{n^{3} + n} - 3 n}

Řešení

\frac{1}{- 3}

Cvičení.

\lim_{n \to \infty} n^{3} (\sqrt{n^{2} + \sqrt{n^{4} + 1}} - n \sqrt{2})

Řešení

\frac{1}{4 \sqrt{2}}

Cvičení.

\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n^{3} + n^{2} + 1} - \sqrt[3]{n^{3} - n^{2} + 1}

Řešení

\frac{2}{3}

Cvičení.

\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n^{3} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{2} - 2 n}

Řešení

2

Cvičení. Určete

a, b \in ℝ

tak, aby

\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{1 - n^{3}} - a n - b = 0

Řešení

Přepíšeme na

\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{1 - n^{3}} - a n = b

. Pokud by bylo

a \neq - 1

, limita vyjde

\pm \infty

, což nevyhovuje podmínce

b \in ℝ

. Musí tedy být

a = - 1

, z čehož vyjde

b = 0

Cvičení.

\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} - \frac{1}{n + i}}{\frac{1}{n} - \frac{1}{n - i}}

Věta.

\lim_{n \to \infty} a_{n} = 1 \land \lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty ⟹ \lim_{n \to \infty} a_{n}^{b_{n}} = \exp (\lim_{n \to \infty} (a_{n} - 1) \cdot b_{n})

Důkaz.

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} a_{n}^{b_{n}} & = \lim_{n \to \infty} {(1 + a_{n} - 1)}^{b_{n}} \\ = \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{\frac{1}{a_{n} - 1}})}^{b_{n}} \\ = \lim_{n \to \infty} {({(1 + \frac{1}{\frac{1}{a_{n} - 1}})}^{\frac{1}{a_{n} - 1}})}^{(a_{n} - 1) \cdot b_{n}} \\ = e^{\lim_{n \to \infty} (a_{n} - 1) \cdot b_{n}} \end{aligned}

Věta.

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = γ + \ln (n) + ε_{n}, ε_{n} \to 0, γ \approx 0.557216

Podílové kritérium

(\forall (a_{n}) \in ℝ^{ω}, (\forall n) (a_{n} \neq 0)) (\lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = q < 1 ⟹ \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0)

(\forall (a_{n}) \in ℝ^{ω}, (\forall n) (a_{n} \neq 0)) (\lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = q > 1 ⟹ \lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty)

Odmocninové kritérium

(\forall (a_{n}) \in ℝ^{ω}) (\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |} = q < 1 ⟹ \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0)

(\forall (a_{n}) \in ℝ^{ω}) (\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |} = q > 1 ⟹ \lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty)

Legenderovy polynomy

P_{n} (x) = \frac{1}{2^{n} \cdot n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} {(x^{2} - 1)}^{n}

P_{0} (x) = 1

P_{1} (x) = x

P_{2} (x) = \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2}

Všechny kořeny jsou jednoduché, reálné a leží v intervalu $(- 1,1)$ .

Věta. Nechť polynom

p (x)

má všechny kořeny reálné. Potom:

Jeho derivace $p^{'} (x)$ má všechny kořeny reálné.
Pro každý $n$ -násobný kořen $λ$ polynomu $p$ platí, že je zároveň $n - 1$ -násobný kořen polynomu $p^{'}$ .

Legenderovy polynomy znovu?

L_{n} (x) = e^{x} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n} e^{- x})

Věta (Leibnitzův vzorec).

{(f \cdot g)}^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \cdot f^{(k)} \cdot g^{(n - k)}

Stejnoměrná spojitost

Definice. Funkce

f

je spojitá na intervalu

I

, pokud

(\forall x_{0} \in I) (\forall ε \in ℝ^{+}) (\exists δ \in ℝ^{+}) (\forall x \in D_{f} \cap I) (| x - x_{0} | < δ ⟹ | f (x) - f (x_{0}) | < ε)

Definice. Funkce

f

je stejnoměrně spojitá na intervalu

I

, pokud

(\forall ε \in ℝ^{+}) (\exists δ \in ℝ^{+}) (\forall x \in D_{f} \cap I) (\forall x_{0} \in I) (| x - x_{0} | < δ ⟹ | f (x) - f (x_{0}) | < ε)

Příklad. Funkce

x \mapsto x

je stejnoměrně spojitá na

ℝ

Příklad. Funkce

x \mapsto \frac{1}{x}

je stejnoměrně spojitá na

(1, \infty)

, ale ne na

(0,1)

Věta (Cantorova). Je-li funkce spojitá na uzavřeném intervalu, potom je na něm spojitá stejnoměrně.

Věta. Funkce

f

je stejnoměrně spojitá na intervalu

(a, b), a, b \in ℝ

právě tehdy, pokud je spojitá a

\lim_{a^{+}} f \in ℝ \land \lim_{b^{-}} f \in ℝ

Příklad. Funkce

\sin

je stejnoměrně spojitá na

ℝ

Důkaz. Podle Lagrangeovy věty

(\exists c \in ∕ x, x_{0} ∕) (| \sin x - \sin x_{0} | = | \cos c (x - x_{0}) | < | x - x_{0} | < δ)

Stačí tedy vzít

δ = ε

Věta. Má-li funkce

f

na intervalu

I

omezenou derivaci, pak je na něm stejnoměrně spojitá.

Důkaz. Nechť

(\exists K \in ℝ^{+}) (\forall x \in I) (| f (x) | < K)

. Ke každému

ε \in ℝ^{+}

zvolíme

δ = \frac{ε}{K}

. Potom podle Lagrangeovy věty

(\forall x, x_{0} \in D_{f} \cap I) (\exists c \in ∕ x, x_{0} ∕) (| f (x) - f (x_{0}) | = | f^{'} (c) (x - x_{0}) | < K | x - x_{0} | < K δ = ε)

, což mělo být dokázáno.

Taylorův polynom

Definice. Taylorův polynom

n

-tého řádu funkce

f

v bodě

a

T_{f, a, n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(n)} (a) \cdot {(x - a)}^{k}}{k!}

Věta. Nechť funkce

f

má na intervalu

⟨ a, b ⟩

konečné derivace až do řádu

n - 1

, má

n

-tou derivaci v bodě

a

a nechť

f (x) = T_{f, a, n} (x) + R_{n} (x)

. Potom

\lim_{x \to a} \frac{R_{n} (x)}{(x - a)^{n}} = 0

Věta. Nechť funkce

f

má na intervalu

⟨ a, b ⟩

konečné derivace až do řádu

n - 1

a má

n

-tou derivaci v bodě

a

. Je-li

P_{n}

polynom stupně nejvýše

n

f (x) = P_{n} (x) + R_{n} (x)

, kde

\lim_{x \to a} \frac{R_{n} (x)}{(x - a)^{n}} = 0

, potom

P_{n} = T_{f, a, n}

Příklad (Referenční Taylorovy polynomy).

T_{\exp, 0, n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}

T_{x \mapsto \ln (1 + x), 0, n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k + 1} \cdot x^{k}}{k}

T_{\sin, 0,2 n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k} \cdot x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}

T_{\cos, 0,2 n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k} \cdot x^{2 k}}{(2 k)!}

T_{x \mapsto (1 + x)^{α}, 0, n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{α}{k}) \cdot x^{k}

Taylor

Věta.

T_{f, n + 1, a}^{'} = T_{f^{'}, n, a}

Odhad chyby Taylora

Věta (Lagrangeův tvar zbytku). Taylorovatelnou funkci

f

lze zapsat jako

f (x) = T_{f, a, n} + \frac{f^{(n + 1)} (ξ) \cdot {(x - a)}^{n + 1}}{(n + 1)!}, ξ \in ⁄ a, x ⁄

Věta (Cauchyův tvar zbytku). Taylorovatelnou funkci

f

lze zapsat jako

f (x) = T_{f, a, n} + \frac{f^{(n + 1)} (ξ) \cdot {(x - ξ)}^{n} \cdot (x - a)}{n!}, ξ \in ⁄ a, x ⁄

Konvergence řad s kladnými členy

Nechť

a

je posloupnost s kladnými členy.

Věta (podílové kritérium).

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < 1 ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} konverguje$
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} > 1 ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} diverguje$

Věta (odmocninové kritérium).

$\underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| a_{n} |} < 1 ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} konverguje$
$(\exists_{\infty} n) (\sqrt[n]{| a_{n} |} > 1) ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} diverguje$

Věta (Raabeovo kritérium).

$(\forall n) (n (1 - \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}) \leq 1) ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} diverguje$
$\lim_{n \to \infty} n (1 - \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}) > 1 ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} konverguje$

Věta (Gaussovo kritérium).

(\exists q \in ℝ_{0}^{+}, α \in ℝ, ε \in ℝ^{+}, c \in ℝ^{ω}, c o m e z e n \overset{ˊ}{a}) (\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q + \frac{α}{n} + \frac{c_{n}}{n^{1 + ε}}) ⟹

$(q, α) < (1, - 1) ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} konverguje$
$(q, α) \geq (1, - 1) ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} diverguje$

Věta (srovnávací kritérium). Nechť

b

je posloupnost s kladnými členy.

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} > 0 \land \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} diverguje ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} diverguje$ $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} < \infty \land \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} konverguje ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} konverguje$

Domácí úkol

Cvičení. Vyšetři konvergenci:

\sum_{n = 1}^{\infty} (n^{n^{α}} - 1), α \in ℝ

Cvičení. Vyšetři konvergenci:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\ln (1 + n^{α})}{n^{β}}, α, β \in ℝ

Kritéria pro řády s obecnými členy

Věta (Leibnitzovo kritérium). Jestliže posloupnost

a_{n}

je monotónní a její limita je

0

, pak

\sum {(- 1)}^{n} \cdot a_{n}

konverguje.

Věta (Upravené Gaussovo kritérium). Mějme řadu

\sum {(- 1)}^{n} \cdot a_{n}

, kde

a_{n} > 0

. Nechť

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q + \frac{α}{n} + \frac{c_{n}}{n^{1 + ε}}

jako u normálního Gausse. Jestliže

$(q, α) < (1, - 1)$ , řada konverguje absolutně
$(1, - 1) \leq (q, α) < (1,0)$ , řada konverguje neabsolutně
$(q, α) \geq (1,0)$ , řada dinverguje

Věta (Abelovo kritérium). Nechť

a_{n}

je omezená monotónní posloupnost a

\sum b_{n}

konverguje. Pak

\sum a_{n} \cdot b_{n}

konverguje.

Věta (Dirichletovo kritérium). Nechť

a_{n}

je monotónní posloupnost s limitou

0

b_{n}

je posloupnost s omezenými částečnými součty. Pak

\sum a_{n} \cdot b_{n}

konverguje.

Cvičení. Určete konvergenci

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{p} + {(- 1)}^{n}}

Parciace

Jak počítat integrály ve tvaru $I_{n} = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{n}} d x$

\begin{aligned} I_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x & = \frac{x}{x^{2} + 1} + 2 \int \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x \\ = \frac{x}{x^{2} + 1} + 2 \int \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x \\ = \frac{x}{x^{2} + 1} + 2 \int \frac{x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x - 2 \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x \\ = \frac{x}{x^{2} + 1} + 2 I_{1} - 2 I_{2} \end{aligned}

I_{2} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x^{2} + 1} + \arctan (x)) + C

Hnusné integrály

\int R (x, \sqrt[n]{\frac{A x + B}{C x + D}}) d x ⟶ y ≔ \sqrt[n]{\frac{A x + B}{C x + D}}

\int R (\cos x, \sin x) d x ⟶ y ≔ \tan \frac{x}{2}, \cos x = \frac{1 - y^{2}}{1 + y^{2}}, \sin x = \frac{2 y}{1 + y^{2}}, d x = \frac{2}{1 + y^{2}} d y

\int R (\cos x, \sin x) d x, R (- \cos x, - \sin x) = R (\cos x, \sin x) ⟶ y ≔ \tan x

\int R (\cos x, \sin x) d x, R (- \cos x, \sin x) = - R (\cos x, \sin x) ⟶ y ≔ \sin x

\int R (\cos x, \sin x) d x, R (\cos x, - \sin x) = - R (\cos x, \sin x) ⟶ y ≔ \cos x