Výpočet integrálu metodou Monte Carlo
Mějme nezápornou omezenou integrabilní funkci . Chceme najít . První způsob by byl prostě střílet do obdélníku a počítat, kolikrát se trefíme. Formálně bychom měli náhodnou proměnnou
Porom . Náš odhad bude vypadat jako
Můžeme na to ovšem jít míň hloupě. Stačí si říct, že kdybychom měli náhodnou proměnnou , potom . Náš odhad bude
Potom
Takže za našich předpokladů je lepší druhá metoda. Navíc potřebujeme dvakrát méně náhodných veličin. Mohli bychom to ještě nějak vylepšit? Máme-li odhad , kde funkci umíme přesně zintegrovat, můžeme použít metodu vyloučení hlavní části: metodou Monte Carlo si spočteme a přičteme . Také pokud víme, že nějaká část funkce bude výrazně chaotičtější než jiná, můžeme si vzít nějakou distribuční funkci , náhodnou proměnnou a počítat
Virius zkoušel různými metodami spočítat . Nejlepší možnost byla použít odhad a hustotu .
Vícerozměrné integrály
Chceme najít integrál , kde . Je-li -rozměrný kvádr, můžeme to dělat stejně jako u jednorozměrného, ale pokud to bude nějaká hnusná množina, máme problém. Pro malé můžeme použít zamítací metodu k vytvoření rovnoměrného rozdělení na , ale jak už víme, pro velké to funguje blbě, protože může být malá šance, že se trefíme. Často se dá využít nějaká symetrie.
Neomezená funkce
Co když máme funkci, která sice je integrabilní, ale má singularitu? Kdybychom to zkoušeli spočíst vzorkováním funkce, mohli bychom se náhodou trefit hodně blízko, což by nám naprosto rozhodilo výpočet. Místo toho můžeme zkusit na nějakém malém okolí singularity integrál odhadnout a počítat ho jenom na zbytku. Další možnost je vhodně zvolit nebo provést nějakou substituci, aby singularita zmizela.
Integrály na neomezené množině
Co kdybychom chtěli spočíst například ? Použijeme hustotu . Potom budeme mít
Takže tato metoda je použitelná, přestože integrujeme na nekonečné množině. Kdybychom ale tímhle způsobem zkusili spočíst s náhodnou proměnnou , vyšlo by nám .
Integrál přes kouli
Dá se ukázet, že pokud chceme mít rovnoměrné rozdělení v kouli, tak si stačí v nějakých upravených kulových souřadnicích vzít . Pokud bychom ale i volili rovnoměrně, dostaneme integrál z , což se může někdy hodit. Značí-li jednotkovou kouli, zkusme například zintegrovat
Označíme-li , pro má konečnou hustotu. Vzhledem k symetrii můžeme pro kulové souřadnice volit . (Toto můžeme vygenerovat tak, že zvolíme tři rovnoměrně náhodná čísla a vezmeme největší z nich.) Stejně tak můžeme volit . Zbylé dvě proměnné zvolíme jako , kde . Potom
Zpět k pojištění
Na začátku jsme počítali sumáž
To můžeme také počítat pomocí integrálu:
To shora odhadneme a spočteme pomocí vzorkování plochy nebo vzorkování funkce.
Markovské procesy
Mějme proces s konečně mnoha stavy, kde stav, do kterého se dostaneme v dalším kroku, závisí jen na stavu, ve kterém jsem teď. Takový proces můžeme vyjádřit pomocí matice přechodu:
kde značí pravděpodobnost, že v -tém kroku jsme v -tém stavu.
Stav je absorpční, pokud , tedy se z něj nejde dostat do jiného stavu. Stavy jsou sdružené, pokud existuje cesta z jednoho do druhého. Řetězec je zanikající, pokud každý stav je sdružený s nějakým absorpčním stavem. Řetězec je ergodický, pokud všechny stavy jsou sdružené.
Lineární rovnice
Mějme lineární rovnici . Tu můžeme přepsat do tvaru , kde . Je-li , můžeme ji řešit metodou postupných aproximací:
Je-li matice stochastická (všechny řádky mají součet ), můžeme použít metodu Monte Carlo. Chceme-li aproximovat například druhý člen, vygenerujeme náhodnou veličinu podle -tého řádku, čímž dostaneme . Poté vygenerujeme náhodnou veličinu podle -tého řádku, čímž dostaneme . Do výsledného součtu přihodíme . Co když ale matice není stochastická? A jak se vypořádat s tím, že máme nekonečně mnoho sčítanců? Rozepíšeme si , kde . Potom máme
Budeme to modelovat tak, že si přidáme jeden absorpční stav a vezmeme přechodovou matici
Budeme simulovat proces s touto přechodovou maticí. Začneme s jednotkovým vektorem . Pokud se po krocích dostaneme do absorpčního stavu a trajektorie předtím je , za hodnotu náhodné veličiny vezmeme . Střední hodnota potom bude hledané . Ale jaká bude disperze?
To znamená, že aby disperze byla konečná, musí konvergovat metoda postupných aproximací pro rovnici , kde . Takže musíme zvolit šikovně, na což neexistuje žádná obecná metoda.
Laplaceova rovnice
Mějme rovnici na oblasti neboli .
Při použití diferenční náhrady dostaneme
Když to interpretujeme jako střední hodnotu, tak to můžeme vzít jako náhodný proces, kde začneme v bodě a budeme se náhodně pohybovat, až narazíme na hranici, a vezmeme hodnotu v bodě, kam narazíme. Snadno vidíme, že k získání konečné disperze stačí, aby byla omezená.
Mimochodem, funkce splňující vlastnost se nazývá harmonická. Pro ty existuje věta o průměrné hodnotě, která říká, že hodnotu v nějakém bodě můžeme spočíst jako průměr něčeho kolem něj. To je vlastně spojitá verze toho, co jsme si teď odvodili.
Co kdybychom měli rovnici s pravou stranou, ? Její diskrétní verze je
No to je jednoduché – stačí v každém kroku ještě připočíst . Jaká je střední hodnota počtu kroků, které provedeme? Dostáváme rekurentní rovnici
To jde vyřešit pomocí nějaké analýzy vlastních čísel, ale do toho nebudeme zabíhat.
Něčí rovnice
Postupné aproximace:
Nějaká magie s Lebesgueovými prostory, jádrem, sdruženými prostory a dalšími funkcionálními šílenostmi.