Příprava na státní závěrečnou zkoušku (MINF bakalářské studium) ⬩ Adamátorovy zápisky

Zde jsou mnou vypracované odpovědi na zkouškové otázky ke zkouškovým předmětům Matematická analýza a lineární algebra a Obecná algebra a její aplikace, na základě tohoto dokumentu.

Některé věci jsem si dovolil formulovat jinak než odpovídající vyučující, protože mi to přišlo jednodušší/přehlednější.

Matematická analýza a lineární algebra

Studijní materiály

Skripta k předmětu Matematická analýza 1

Skripta k předmětu Matematická analýza 2

Skripta k předmětům Matematická analýza A 3,4

Moje zápisky z předmětu Diferenciální rovnice

Skripta k předmětu Funkce komplexní proměnné

Moje zápisky z předmětu Funkce komplexní proměnné

Skripta k předmětu Lineární algebra 1

Skripta k předmětu Lineární algebra 2

1. Diferenciální počet reálné proměnné – derivace, její aplikace pro vyšetřování funkce, věty o přírůstku funkce.

f

f

f

f, g

f

2. Riemannův integrál v

ℝ

, definice, postačující podmínky existence, Newtonova formule, substituce, per partes, věty o střední hodnotě.

[a, b]

f

f

f

f

f, g

ϕ

f, g

f, g

3. Číselné řady, kritéria konvergence, přerovnávání řad, součin řad.

((a_{n}), (s_{n})) \in {(ℝ^{ω})}^{2}

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

(a_{n}), (b_{n})

(a_{n}), (b_{n})

(a_{n})

(a_{n})

(a_{n})

(a_{n})

(a_{n})

(a_{n})

(a_{n})

(a_{n})

(a_{n})

Věta Je-li řada absolutně konvergentní, potom se jakýmkoli přerovnáním nezmění její součet.

Věta Riemann Je-li řada neabsolutně konvergentní, potom je možné přerovnáním vytvořit řadu s libovolným daným součtem i oscilující řadu.

(a_{n}), (b_{n})

4. Mocninné řady, vlastnosti součtu mocninné řady, Taylorův polynom, Taylorova řada, rozvoje základních funkcí do Taylorovy řady.

s (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n}

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n}

s (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n}

f

Věta Abelova Reálná mocninná řada je spojitá na celém oboru konvergence.

exp x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}, x \in ℝ,

5. (Totální) derivace zobrazení z

ℝ^{n}

ℝ^{n}

. Parciální derivace a gradient funkce více proměnných. Vztah mezi derivací a parciální derivací? Věty o přírůstku funkce.

Ω \subset ℝ^{n}

f : Ω \to ℝ^{m}

f : Ω \to ℝ

f : Ω \to ℝ^{m}

f : Ω \to ℝ^{m}

f : Ω \to ℝ

f : Ω \to ℝ^{n}

6. Nutná a postačující podmínka extrému funkce více proměnných. Hledání (volných) extrémů. Nutná a postačující podmínka vázaného extrému funkce více proměnných. Hledání vázaných extrémů.

Ω \subset ℝ^{n}

f : Ω \to ℝ

f : Ω \to ℝ

f : Ω \to ℝ, f \in 𝒞^{2} (Ω)

f : Ω \to ℝ, f \in 𝒞^{2} (Ω)

g : Ω \to ℝ^{m}

f : Ω \to ℝ, g : Ω \to ℝ^{m}

f : Ω \to ℝ, g : Ω \to ℝ^{m}, f, g \in 𝒞^{1} (Ω), m < n

f : Ω \to ℝ, g : Ω \to ℝ^{m}, f, g \in 𝒞^{2} (Ω), M ≔ g^{- 1} ({0})

f : Ω \to ℝ, g : Ω \to ℝ^{m}, f, g \in 𝒞^{2} (Ω), M ≔ g^{- 1} ({0})

7. Lineární diferenciální rovnice

n

-tého řádu

y^{(n)} + p_{1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + p_{n} (x) y = f (x) v intervalu ℐ

a) řešení lineární diferenciální rovnice n-tého řádu bez pravé strany, fundamentální systém; b) řešení lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s pravou stranou, metoda variace konstant

S dovolením budu používat méně zhulené značení:

y^{(n)} + p_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + p_{0} (x) y = f (x) v intervalu ℐ .

y_{1}, \dots, y_{n} : ℐ \to ℝ

y_{1}, \dots, y_{n} : ℐ \to ℝ

y_{1}, \dots, y_{n} : ℐ \to ℝ

ℐ \to ℝ

Definice Báze prostoru všech řešení se nazývá fundamentální systém .

f_{1}, \dots, f_{n} \in 𝒞^{n} (ℐ)

y_{1}, \dots, y_{n}

8. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu

𝐲^{'} = 𝐀 (x) 𝐲 + 𝐛 (x)

a) řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic n-tého řádu bez pravé strany, fundamentální systém; b) řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic n-tého řádu s pravou stranou, metoda variace konstant

Všechno je dost analogické předchozí otázce.

ℐ \to ℝ

Definice Báze prostoru všech řešení se nazývá fundamentální systém .

y_{1}, \dots, y_{n} : ℐ \to ℝ^{n}

y_{1}, \dots, y_{n} : ℐ \to ℝ^{n}

y_{1}, \dots, y_{n} : ℐ \to ℝ^{n}

ℐ \to ℝ^{n}

Definice Báze prostoru všech řešení se nazývá fundamentální systém .

f_{1}, \dots, f_{n} \in 𝒞^{1} (ℐ, ℝ^{n})

y_{1}, \dots, y_{n}

9. Abstraktní Lebesgueův integrál. Jednotlivé kroky konstrukce integrálu od jednoduchých funkcí po funkce komplexní. Tonelliho-Fubiniho věta. Věta o substituci pro Lebesgueův integrál v

ℝ^{n}

(X, ℳ, μ), (Y, 𝒩, ν)

f : X \to ℂ

ϕ : X \to ℂ

ℒ_{+} = ℒ_{+} (X, ℳ)

ϕ = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} χ_{E_{i}} \in ℒ_{+}

f \in ℒ_{+}

f : X \to ℂ

x \in X, y \in Y

μ, ν

μ, ν

m

10. Postačující podmínky garantující záměnu Lebesgueova integrálu a řady. Věty o záměně limity a integrálu a záměně derivace a integrálu (pro funkci závislou na parametru).

(f_{n}) \in ℒ_{+}^{ω}

(f_{n})

(f_{n})

a, b \in ℝ, a < b, t_{0} \in (a, b), f : X \times (a, b) \to ℂ

a, b \in ℝ, a < b, f : X \times (a, b) \to ℂ

11. Derivace funkce podle komplexní proměnné, holomorfní funkce a Cauchy-Riemannovy rovnice, křivkový integrál v

ℂ

, index bodu vzhledem ke křivce, Goursatova věta a Cauchyův vzorec pro konvexní množniy, analytické funkce a jejich vztah k holomorfním funkcím.

Ω \subset ℂ

f : Ω \to ℂ

f : Ω \to ℂ, x_{0}, y_{0} \in ℝ, z_{0} ≔ x_{0} + i y_{0}

γ : [α, β] \to ℂ

γ : [α, β] \to ℂ

f \in H (Ω)

Ω

f : Ω \to ℂ

f : Ω \to ℂ

12. Kořeny a izolované singularity holomorfních funkcí, typy singularit, Laurentovy řady a jejich konvergence, věta o rozvoji holomorfní funkce do Laurentovy řady, Laurentova řada holomorfní funkce na okolí izolované singularity, Liouvilleova věta.

f \in H (Ω)

Ω

Ω

f \in H (Ω)

a \in ℂ

a \in ℂ

f \in H (P (a, r_{1}, r_{2}))

f \in H (ℂ)

13. Křivkový integrál v

ℂ

(zavedení), index bodu vzhledem ke křivce (definice), Cauchyova věta a Cauchyův vzorec (obecná formulace), homotopie a Cauchyova věta, reziduum holomorfní funkce v izolované singularitě (definice), reziduová věta

γ : [α, β] \to ℂ

γ : [α, β] \to ℂ

Γ

γ_{0}, γ_{1} : [α, β] \to Ω

γ_{0}, γ_{1}

f \in H (D^{'} (a, r))

A \subset Ω

14. Lineární zobrazení a jeho matice, soustavy lineárních algebraických rovnic, Frobeniova věta.

P, Q

P, Q

P, Q

T

15. Hermitovské a kvadratické formy, polární báze, zákon setrvačnosti, matice kvadratické formy, kritéria pro určování charakteru formy.

V

h : V^{2} \to T

h : V^{2} \to T

Věta Ke každé hermitovské formě v prostoru konečné dimenze existuje polární báze.

Q

Věta zákon setrvačnosti Signatura kvadratické formy nezávisí na volbě polární báze.

Q

Q

h

h

Q

16. Skalární součin a norma, ortogonalita, nerovnosti, ortogonální doplněk.

ℋ

⟨ \cdot | \cdot ⟩ : V^{2} \to T

\vec{x}, \vec{y} \in ℋ

\vec{x}, \vec{y} \in ℋ

{\vec{x}}_{1}, \dots, {\vec{x}}_{n}

Věta Nenulové ortogonální vektory jsou lineárně nezávislé.

\vec{x}, \vec{y} \in ℋ

ℋ

{\vec{x}}_{1}, \dots, {\vec{x}}_{k} \in ℋ

M \subset ℋ, M \neq \emptyset

17. Determinant matice a determinant operátoru.

T

𝐀 \in T^{n \times n}

Věta Determinant trojúhelníkové matice je součin prvků na její hlavní diagonále.

𝐀 \in T^{n \times n}

0

𝐀, 𝐁 \in T^{n \times n}

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in ℝ^{2}

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in ℝ^{3}

A \in T^{n \times n}, n > 1, i \in \hat{n}

A \in T^{n \times n}

A \in T^{n \times n}

A \in T^{n \times n}

V

Věta Hodnota determinantu lineárního zobrazení nezávisí na volbě báze.

18. Vlastní čísla a diagonalizovatelnost matic a operátorů.

λ \in ℂ

𝐀 \in ℂ^{n \times n}

𝐀 \in ℂ^{n \times n}

Věta Vlastní čísla trojúhelníkové matice jsou čísla na její hlavní diagonále.

𝐀 \in ℂ^{n \times n}

𝐀 \in ℂ^{n \times n}

𝐀 \in ℂ^{n \times n}

𝐀 \in ℂ^{n \times n}

𝐀, 𝐁 \in ℂ^{n \times n}

Věta Podobné matice mají stejné charakteristické polynomy, spektra, algebraické i geometrické násobnosti vlastních čísel a determinanty.

Definice Matice je diagonalizovatelná, pokud je podobná diagonální matici.

Věta Matice je diagonalizovatelná, právě když existuje báze z jejích vlastních vektorů, tedy pokud všechna její vlastní čísla mají stejnou algebraickou a geometrickou násobnost.

V

λ \in T

𝒳

A \in ℒ (V)

A \in ℒ (V)

A \in ℒ (V)

T

A \in ℒ (V)

19. Rieszova věta, sdružený operátor. Normální, hermitovský a unitární operátor.

ℋ

φ \in ℋ^{#}

A \in ℒ (ℋ)

Věta Každý operátor má právě jeden sdružený operátor.

A \in ℒ (ℋ)

A \in ℒ (ℋ)

A \in ℒ (ℋ)

𝐀 \in T^{n \times n}

A \in ℒ (ℋ)

A \in ℒ (ℋ)

T = ℂ

A \in ℒ (ℋ)

1

A

Obecná algebra a její aplikace

Studijní materiály

Moje zápisky z předmětu Algebra

Skripta k předmětu Teorie kódování

Moje zápisky z předmětu Teorie kódování

1. Relace, ekvivalence a rozklad množiny na třídy ekvivalence, uspořádání (úplné, dobré, svazové), princip transfinitní indukce.

n

ℛ

\sim

\sim

\leq

Definice Uspořádání na množině je dobré, pokud každá neprázdná podmnožina má nejmenší prvek.

Definice Uspořádání na množině je svazové, pokud každá dvouprvková množina má infimum a suprémum.

Věta Dobré uspořádání je úplné.

(M, \leq)

(M, \leq)

2. Cyklické grupy a jejich klasifikace, podgrupy a generátory cyklických grup, konečně generované abelovské grupy.

G

G

Věta Podgrupa cyklické grupy je cyklická.

G = ⟨ a ⟩

G

Věta Torzní část abelovské grupy je podgrupa.

p \in ℙ

Věta Primární komponenty konečné abelovské grupy jsou podgrupy.

G

3. Faktorizace grupy podle podgrupy, Lagrangeova věta, normální podgrupy, věty o izomorfismu.

G

G

H

H

H ⊲ G

φ : G \to \tilde{G}

G

G

4. Okruhy, faktorizace okruhu podle ideálu, maximální ideály

R

R

I

I

I

T

5. Dělitelnost v oborech integrity; jednotky, ireducibilní prvek a prvočíslo, asociovanost. Gaussovy obory, obory hlavních ideálů, Eukleidovy obory.

R

R

R

Věta Obor hlavních ideálů je Gaussův.

R

Věta Eukleidův obor je obor hlavních ideálů.

6. Tělesa, charakteristika tělesa, prvotěleso, konečná tělesa a jejich konstrukce.

Definice Nenulový komutativní okruh je těleso, pokud každý prvek má inverzi na násobení.

Věta Nenulový koutativní okruh je těleso, právě pokud má pouze nevlastní ideály.

Definice Prvotěleso tělesa je jeho minimální (ve smyslu inkluze) podtěleso.

ℚ

p \in ℙ

T

S

n = p^{k}, p \in ℙ, k \in ℕ

𝔽_{n}

Věta Multiplikativní grupa konečného tělesa je cyklická.

7. Lineární kódy, Hammingova mez. a) Definice lineárního kódu, kontrolní a generující matice, vztah mezi minimální vzdáleností lineárního kódu a lineární nezávislostí sloupců v kontrolní matici. b) Hammingova mez pro velikost binárního kódu dané délky a dané minimální vzdálenosti.

A

𝒞

𝒞

8. Standardní dekódování, systematické kódy. a) Definice syndromu a standardní tabulky, použití standardní tabulky k dekódování lineárního kódu. b) Definice systematického lineárního kódu, ekvivalence kódů.

𝒞 \subset A^{n}

𝒞 \subset A^{n}

𝒞 \subset A^{n}

x \in A^{n}

𝒞 \in A^{n}

𝒞_{1}, 𝒞_{2}

Věta Každý lineární kód je ekvivalentní nějakému systematickému.

9. Levensteinova věta, Hadamardovy matice a optimální kódy. a) Definice Hadamardovy matice, konstrukce Hadamardových matic pomocí tenzorového součinu. b) Plotkinova mez a její těsnost díky Hadamardovým maticím (Levensteinova věta).

𝐇 \in {\pm 1}^{n \times n}

𝐀 \in ℝ^{n \times n}, 𝐁 \in ℝ^{s \times s}

Věta Tenzorový součin dvou Hadamardových matic je Hadamardova matice.

n, d \in ℕ

n, d \in ℕ

10. Cyklické kódy, generující a kontrolní polynomy. a) Definice cyklického kódu a polynomiální reprezentace jeho kódových slov. b) Generující a kontrolní polynom cyklického kódu, rozklad polynomu

x^{n} - 1

v konečných tělesech charakteristiky 2. c) Generující kořeny cyklického kódu, konstrukce binárních cyklických kódů liché délky.

𝒞

𝒞

g

b \in ℤ_{2} [x] ╱ q

q \in ℤ_{2} [x]

b \in ℤ_{2} [x] ╱ q

n

11. Hammingovy a BCH kódy. a) Konstrukce a vlastnosti Hammingova binárního kódu. b) Konstrukce a vlastnosti binárních BCH kódů pro opravy dvojnásobných chyb.

m \in ℕ

(2, m)

(2, m)

𝔽_{2}^{m} ≃ ℤ_{2} [x] ╱ q

d \geq 5