Adamátor Zápisky Hlášky

Příprava na státní závěrečnou zkoušku

Zde jsou mnou vypracované odpovědi na zkouškové otázky ke zkouškovým předmětům Matematická analýza a lineární algebra a Obecná algebra a její aplikace, na základě tohoto dokumentu.

Některé věci jsem si dovolil formulovat jinak než odpovídající vyučující, protože mi to přišlo jednodušší/přehlednější.

Matematická analýza a lineární algebra

Studijní materiály
1. Diferenciální počet reálné proměnné – derivace, její aplikace pro vyšetřování funkce, věty o přírůstku funkce.
Definice Reálná funkce f má derivaci v bodě a, pokud existuje limita
f′(a)≔limx→af(x)−f(a)x−a.
Věta Má-li funkce f v bodě a lokální extrém a má v něm derivaci, potom f′(a)=0.
Věta Lagrangeova o přírůstku funkce Je-li funkce f spojitá na [a,b] a má derivaci na (a,b), potom existuje ξ∈(a,b) takové, že
f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a.
Věta Cauchyova o přírůstku funkce Jsou-li funkce f,g spojité na [a,b] a mají derivaci na (a,b), přičemž g ji má nenulovou, potom existuje ξ∈(a,b) takové, že
f′(ξ)g′(ξ)=f(b)−f(a)g(b)−g(a).
Věta Je-li funkce f spojitá na intervalu I a má derivaci na I∘, potom
  • f′(I∘)=0⟺fje konstantní naI,
  • f′(I∘)≥0⟺fje rostoucí naI,
  • f′(I∘)≤0⟺fje klesající naI,
  • f′(I∘)>0⟹fje ostře rostoucí naI (obráceně neplatí, protipříklad: x3),
  • f′(I∘)<0⟹fje ostře klesající naI (obráceně neplatí, protipříklad: −x3),
  • f′je [ostře] rostoucí naI∘⟹fje [ostře] konvexní naI,
  • f′je [ostře] klesající naI∘⟹fje [ostře] konkávní naI.
2. Riemannův integrál v ℝ, definice, postačující podmínky existence, Newtonova formule, substituce, per partes, věty o střední hodnotě.
Definice Dělení intervalu [a,b] je množina σ={x0,…,xn} taková, že a=x0<x1<⋯<xn=b. Jeho norma (hrubost) je ν(σ)≔max{xk−xk−1|k∈n^}.
Definice Nechť funkce f je omezená na intervalu [a,b] a σ={x0,…,xn} je jeho dělení. Označme
Mi≔sup[xi−1,xi]f,mi≔inf[xi−1,xi]f.
Potom horní a dolní integrální součet f podle σ jsou
S(σ)≔∑i=1nMi(xi−xi−1),s(σ)≔∑i=1nmi(xi−xi−1).
Definice Funkce f omezená na intervalu [a,b] na něm má Riemannův integrál, pokud platí
infσS(σ)=supσs(σ),
kde σ prochází všechna dělení intervalu [a,b]. Společnou hodnotu značíme ∫abf nebo ∫abf(x)dx.
Věta Je-li funkce f spojitá nebo monotónní na intervalu [a,b], potom na něm má Riemannův integrál.
Věta Newtonova formule Nechť funkce f má Riemannův integrál na [a,b] a existuje funkce F spojitá na [a,b], jejíž derivace na (a,b) je f. Potom ∫abf=F(b)−F(a)≕[F]ab.
Věta bu bun seki-bun Nechť funkce f,g jsou spojité na [a,b], diferencovatelné na (a,b) a existují integrály ∫abf′⋅g,∫abf⋅g′. Potom
∫abf′⋅g=[f⋅g]ab−∫abf⋅g′.
Věta substituce Nechť funkce ϕ je spojitá na [α,β] a diferencovatelná na (α,β) a funkce f je spojitá na ϕ[α,β]. Potom
∫αβ(f∘ϕ)⋅ϕ′=∫ϕ(α)ϕ(β)f.
Věta první o střední hodnotě Nechť funkce f,g jsou omezené na intervalu [a,b], f je na něm integrabilní a nezáporná a f⋅g je na něm integrabilní. Potom existuje μ∈[inf[a,b]g,sup[a,b]g] takové, že ∫abf⋅g=μ∫abf.
Věta druhá o střední hodnotě Nechť funkce f,g jsou integrabilní na intervalu [a,b] a g je na něm monotónní. Potom existuje ξ∈[a,b] takové, že
∫abf⋅g=g(a)∫aξf+g(b)∫ξbf.
3. Číselné řady, kritéria konvergence, přerovnávání řad, součin řad.
Definice Číselná řada je dvojice ((an),(sn))∈(ℝω)2, kde sn=∑i=1nai. Řada konverguje, pokud existuje limita
∑n=1∞an≔limn→∞sn.
Věta nutná podmínka konvergence Pokud řada ∑n=1∞an konverguje, potom limn→∞an=0.
Věta Bolzano-Cauchyovo kritérium konvergence Řada ∑n=1∞an konverguje, právě když
(∀ε∈ℝ+)(∃n0∈ℕ)(∀n>n0)(∀p∈ℕ)(|∑k=n+1n+pak|<ε).
Věta srovnávací kritérium Nechť pro posloupnosti (an),(bn) platí od nějakého indexu an≤bn nebo an+1an≤bn+1bn. Potom konverguje-li ∑n=1∞bn, konverguje i ∑n=1∞an.
Věta limitní srovnávací kritérium Nechť pro nezáporné posloupnosti (an),(bn) existuje limita L≔limn→∞anbn.
  • Pokud L<∞ a ∑n=1∞bn konverguje, potom ∑n=1∞an konverguje.
  • Pokud L>0 a ∑n=1∞an konverguje, potom ∑n=1∞bn konverguje.
Věta Cauchyovo odmocninové kritérium Nechť (an) je nezáporná posloupnost.
  • Pokud od nějakého indexu platí ann≤q<1, potom ∑n=1∞an konverguje.
  • Pokud pro nekonečně mnoho indexů platí ann≥1, potom ∑n=1∞an diverguje.
Věta d’Alembertovo podílové kritérium Nechť (an) je kladná posloupnost.
  • Pokud od nějakého indexu platí an+1an≤q<1, potom ∑n=1∞an konverguje.
  • Pokud od nějakého indexu platí an+1an≥1, potom ∑n=1∞an diverguje.
Věta Raabeovo kritérium Nechť (an) je kladná posloupnost.
  • Pokud od nějakého indexu platí n⋅(1−an+1an)≥α>1, potom ∑n=1∞an konverguje.
  • Pokud od nějakého indexu platí n⋅(1−an+1an)≤1, potom ∑n=1∞an diverguje.
Věta Gaussovo kritérium Nechť (an) je kladná posloupnost taková, že pro nějaká q,α∈ℝ,ε∈ℝ+ a omezenou posloupnost (cn) platí
an+1an=q−αn+cnn1+ε.
Potom
  • Pokud q<1 nebo q=1∧α>1, potom ∑n=1∞an konverguje.
  • Pokud q>1 nebo q=1∧α≤1, potom ∑n=1∞an diverguje.
Věta Dirichletovo kritérium Nechť (an) je monotónní reálná posloupnost s limitou 0 a (bn) je komplexní posloupnost s omezenou posloupností částečných součtů. Potom řada ∑n=1∞an⋅bn konverguje.
Věta Abelovo kritérium Nechť (an) je monotónní konvergentní reálná posloupnost a ∑n=1∞(bn) je konvergentní komplexní řada. Potom řada ∑n=1∞an⋅bn konverguje.
Věta Leibnitzovo kritérium Je-li (an) klesající kladná posloupnost s limitou 0, potom řada ∑n=1∞(−1)n+1an konverguje.
Věta modifikované Gaussovo kritérium Nechť (an) je kladná posloupnost taková, že pro nějaká q,α∈ℝ,ε∈ℝ+ a omezenou posloupnost (cn) platí
an+1an=q−αn+cnn1+ε.
Potom
  • Pokud q>1 nebo q=1∧α≤0, potom ∑n=1∞(−1)n+1an diverguje.
  • Pokud q<1 nebo q=1∧α>1, potom ∑n=1∞(−1)n+1an konverguje absolutně.
  • Pokud q=1 a α∈(0,1], potom ∑n=1∞(−1)n+1an konverguje neabsolutně.
Věta Nechť (an) je posloupnost s limitou 0. Uzávorkujeme-li řadu ∑n=1∞ tak, že délka závorek je omezená, potom se nezmění charakter konvergence ani případný součet.
Věta Je-li řada absolutně konvergentní, potom se jakýmkoli přerovnáním nezmění její součet.
Věta Riemann Je-li řada neabsolutně konvergentní, potom je možné přerovnáním vytvořit řadu s libovolným daným součtem i oscilující řadu.
Věta Jsou-li řady (an),(bn) absolutně konvergentní, potom platí
∑i,j∈ℕaibj=(∑n=1∞an)⋅(∑n=1∞bn),
přičemž řada vlevo konverguje absolutně, takže nezáleží na pořadí sčítanců. Speciálně
(∑n=1∞an)⋅(∑n=1∞bn)=∑n=2∞∑k=1n−1akbn−k.
4. Mocninné řady, vlastnosti součtu mocninné řady, Taylorův polynom, Taylorova řada, rozvoje základních funkcí do Taylorovy řady.
Definice Mocninná řada je řada tvaru s(x)=∑n=0∞an(x−a)n s parametrem x∈ℂ, kde (an)∈ℂω,a∈ℂ. Její poloměr konvergence je číslo
ρ≔1lim supn→∞|an|n.
Věta Mocninná řada ∑n=0∞an(x−a)n s poloměrem konvergence ρ konverguje pro |x−a|<ρ a diverguje pro |x−a|>ρ (pro |x−a|=ρ může nastat obojí).
Věta Je-li s(x)=∑n=0∞an(x−a)n reálná mocninná řada s poloměrem konvergence ρ, potom pro každé x∈(a−ρ,a+ρ) platí
s′(x)=∑n=1∞nan(x−a)n−1,
z čehož lze napočítat koeficienty jako an=s(n)(a)n!.
Definice Pro danou funkci f je ∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)n její Taylorova řada v bodě a. Částečný součet této řady je Taylorův polynom: Tn(x)≔∑k=0nf(k)(a)k!(x−a)k.
Věta Abelova Reálná mocninná řada je spojitá na celém oboru konvergence.
Věta Taylorovy řady základních funkcí
  • expx=∑n=0∞xnn!,x∈ℝ,
  • cosx=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!,x∈ℝ,
  • sinx=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!,x∈ℝ,
  • arctanx=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1,x∈[−1,1],
  • ln(1+x)=∑n=0∞(−1)nxn+1n+1,x∈(−1,1],
  • (1+x)α=∑n=0∞(αn)xn,x∈{ℝ,α∈ℕ0,[−1,1],α∈(1,∞)∖ℕ,(−1,1],α∈(0,1),(−1,1),α∈(−∞,0).
5. (Totální) derivace zobrazení z ℝn do ℝn. Parciální derivace a gradient funkce více proměnných. Vztah mezi derivací a parciální derivací? Věty o přírůstku funkce.
Obecný předpoklad Nechť Ω⊂ℝn je neprázdná otevřená množina.
Definice Funkce f:Ω→ℝm je diferencovatelná v bodě a∈Ω, pokud existuje zobrazení Df(a)∈ℒ(ℝn,ℝm) takové, že
limx→a‖f(x)−f(a)−Df(a)(x−a)‖‖x−a‖=0.
Toto zobrazení je její derivace. Speciálně pro f:Ω→ℝ můžeme zapsat Df(a) jako řádkový vektor, který nazýváme gradient a značíme ∇f(a).
Definice Parciální derivace funkce f:Ω→ℝ podle i-té proměnné, pokud existuje, je
∂if(a)=∂xif(a)=∂f∂xi(a)≔limt→0f(a+tei)−f(a)t.
Věta Má-li funkce f:Ω→ℝm derivaci v a∈Ω, kterou ztotožníme s její maticí, potom existují všechny parciální derivace ∂jfi a platí (Df(a))i,j=∂jfi.
Věta Nechť f:Ω→ℝm a a∈Ω. Existují-li na okolí a parciální derivace ∂jfi a jsou spojité v a, potom f je diferencovatelná v a (a její derivaci zjistíme podle předchozí věty).
Věta Lagrangeova o přírůstku Je-li f:Ω→ℝ diferencovatelná na oblasti Ω, potom pro každá a,b∈Ω existuje ξ na úsečce mezi nimi takové, že f(b)−f(a)=∇f(ξ)(b−a). (Pro funkci do ℝn to neplatí!)
Věta Je-li f:Ω→ℝn diferencovatelná na Ω a na konvexní množině K⊂Ω je omezená v normě konstantou M, potom pro každá x,y∈K platí ‖f(x)−f(y)‖≤M‖x−y‖.
6. Nutná a postačující podmínka extrému funkce více proměnných. Hledání (volných) extrémů. Nutná a postačující podmínka vázaného extrému funkce více proměnných. Hledání vázaných extrémů.
Obecný předpoklad Nechť Ω⊂ℝn je neprázdná otevřená množina.
Věta nutná podmínka extrému Má-li funkce f:Ω→ℝ v bodě a∈Ω lokální extrém a existuje ∂if(a), potom ∂if(a)=0. Speciálně pokud existuje Df(a), potom Df(a)=0.
Definice Má-li funkce f:Ω→ℝ všechny parciální derivace druhého řádu v a∈Ω, její Hessova matice je dána vztahem
(∇2f(a))i,j≔∂xj,xif(a).
Věta postačující podmínka extrému Nechť f:Ω→ℝ,f∈𝒞︀2(Ω) a pro nějaké a∈Ω je ∇f(a)=0.
  • Je-li ∇2f(a) pozitivně definitní, f má v a ostré lokální minimum.
  • Je-li ∇2f(a) negativně definitní, f má v a ostré lokální maximum.
  • Je-li ∇2f(a) indefinitní, f má v a sedlový bod.
Věta Má-li funkce f:Ω→ℝ,f∈𝒞︀2(Ω) v bodě a∈Ω lokální minimum/maximum, potom ∇2f(a) je pozitivně/negativně (semi)definitní.
Definice Nechť g:Ω→ℝm a a∈M≔g−1({0}). Tečný prostor g v bodě a je
Ta(M)≔⋂j=1m(∇g(a))⟂.
Definice Nechť f:Ω→ℝ,g:Ω→ℝm. Lagrangeova funkce je L:Ω×ℝm→ℝ definovaná jako
L(x;λ)≔f(x)−∑j=1mλjgj(x)
a její parametry λ jsou Lagrangeovy multiplikátory.
Věta nutná podmínka vázaného extrému Nechť f:Ω→ℝ,g:Ω→ℝm,f,g∈𝒞︀1(Ω),m<n. Má-li f lokální extrém na množině M≔g−1({0}) v bodě a∈M a h(Dg(a))=m, potom existují Lagrangeovy multiplikátory λ∈ℝm takové, že ∇xL(a;λ)=0.
Věta postačující podmínka vázaného extrému Nechť f:Ω→ℝ,g:Ω→ℝm,f,g∈𝒞︀2(Ω),M≔g−1({0}) a pro nějaké (a,λ)∈M×ℝm je ∇xL(a,λ)=0.
  • Je-li ∇x2L(a;λ) pozitivně definitní vzhledem k Ta(M), f má v a ostré lokální minimum vzhledem k M.
  • Je-li ∇x2L(a;λ) negativně definitní vzhledem k Ta(M), f má v a ostré lokální maximum vzhledem k M.
Věta Nechť f:Ω→ℝ,g:Ω→ℝm,f,g∈𝒞︀2(Ω),M≔g−1({0}) a pro nějaké a∈M je h(Dg(a))=m<n. Je-li a lokální minimum/maximum f vzhledem k M, potom ∇x2L(a;λ) je pozitivně/negativně (semi)definitní.
7. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn(x)y=f(x)v intervaluℐ
a) řešení lineární diferenciální rovnice n-tého řádu bez pravé strany, fundamentální systém; b) řešení lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s pravou stranou, metoda variace konstant

S dovolením budu používat méně zhulené značení:

y(n)+pn−1(x)y(n−1)+⋯+p0(x)y=f(x)v intervaluℐ.
Definice Wrońského determinant (wrońskián) funkcí y1,…,yn:ℐ→ℝ diferencovatelných do řádu k−1 je
Wy1,…,yn(x)≔det(y1(x)y2(x)⋯yn(x)f1′(x)f2′(x)⋯fn′(x)⋮⋮⋱⋮y1(n−1)y2(n−1)⋯yn(n−1)).
Věta Jsou-li y1,…,yn:ℐ→ℝ diferencovatelné do řádu n−1 a lineárně závislé, potom Wy1,…,yn(x)=0 pro všechna x∈ℐ.
Věta Jsou-li y1,…,yn:ℐ→ℝ řešení rovnice bez pravé strany a Wy1,…,yn(x)=0 pro nějaké x∈ℐ, potom jsou řešení lineárně závislá.
Věta Řešení rovnice bez pravé strany tvoří lineární podprostor prostoru funkcí ℐ→ℝ. Dimenze tohoto podprostoru je n. Tedy pokud najdeme n řešení, jejichž wrońskián je nenulový, potom tvoří bázi prostoru všech řešení.
Definice Báze prostoru všech řešení se nazývá fundamentální systém.
Věta Jsou-li funkce f1,…,fn∈𝒞︀n(ℐ) lineárně nezávislé, potom existuje právě jedna rovnice, pro niž jsou fundamentální systém.
Věta metoda variace konstant Mějme rovnici s pravou stranou. Nechť y1,…,yn je fundamentální systém odpovídající rovnice bez pravé strany. Řešme pro Cj:ℐ→ℝ,j∈n^ soustavu
∑j=1nCj′(x)yj(k−1)(x)=δk,nq(x),k∈n^.
Potom řešení rovnice s pravou stranou jsou ve tvaru
y(x)=∑j=1nCj(x)yj(x).
8. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu
𝐲′=𝐀(x)𝐲+𝐛(x)
a) řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic n-tého řádu bez pravé strany, fundamentální systém; b) řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic n-tého řádu s pravou stranou, metoda variace konstant

Všechno je dost analogické předchozí otázce.

Věta Řešení rovnice bez pravé strany tvoří lineární podprostor prostoru funkcí ℐ→ℝ. Dimenze tohoto podprostoru je n. Tedy pokud najdeme n řešení, jejichž wrońskián je nenulový, potom tvoří bázi prostoru všech řešení.
Definice Báze prostoru všech řešení se nazývá fundamentální systém.
Definice Wrońského determinant (wrońskián) funkcí y1,…,yn:ℐ→ℝn je
Wy1,…,yn(x)≔det((y1)1(x)⋯(yn)1(x)⋮⋱⋮(yn)1(x)⋯(yn)n(x)).
Věta Jsou-li y1,…,yn:ℐ→ℝn lineárně závislé, potom Wy1,…,yn(x)=0 pro všechna x∈ℐ.
Věta Jsou-li y1,…,yn:ℐ→ℝn řešení soustavy rovnic bez pravé strany a Wy1,…,yn(x)=0 pro nějaké x∈ℐ, potom jsou řešení lineárně závislá.
Věta Řešení soustavy rovnic bez pravé strany tvoří lineární podprostor prostoru funkcí ℐ→ℝn. Dimenze tohoto podprostoru je n. Tedy pokud najdeme n řešení, jejichž wrońskián je nenulový, potom tvoří bázi prostoru všech řešení.
Definice Báze prostoru všech řešení se nazývá fundamentální systém.
Věta Jsou-li funkce f1,…,fn∈𝒞︀1(ℐ,ℝn) lineárně nezávislé, potom existuje právě jedna soustava rovnic bez pravé strany, pro niž jsou fundamentální systém.
Věta metoda variace konstant Mějme soustavu rovnic s pravou stranou. Nechť y1,…,yn je fundamentální systém odpovídající soustavě bez pravé strany. Řešme pro Cj:ℐ→ℝ,j∈n^ soustavu
∑j=1nCj′(x)yj(x)=b,k∈n^.
Potom řešení rovnice s pravou stranou jsou ve tvaru
y(x)=∑j=1nCj(x)yj(x).
9. Abstraktní Lebesgueův integrál. Jednotlivé kroky konstrukce integrálu od jednoduchých funkcí po funkce komplexní. Tonelliho-Fubiniho věta. Věta o substituci pro Lebesgueův integrál v ℝn.
Obecný předpoklad Nechť (X,ℳ,μ),(Y,𝒩︀,ν) jsou prostory s mírou.
Definice Funkce f:X→ℂ je ℳěřitelná, pokud vzor každé otevřené množiny je ℳěřitelná množina.
Definice Funkce ϕ:X→ℂ je jednoduchá, pokud má konečný obor hodnot, neboli se dá zapsat ve tvaru
ϕ=∑i=1naiχEi,ai∈ℂ,Ei⊂X.
Definice ℒ+=ℒ+(X,ℳ) značí množinu nezáporných ℳěřitelných funkcí.
Definice Nechť ϕ=∑i=1naiχEi∈ℒ+ je jednoduchá funkce. Potom její integrál podle μ je
∫ϕdμ=∫Xϕdμ=∫ϕ(x)dμ(x)=∫Xϕ(x)dμ(x)≔∑i=1naiμ(Ei).
Také definujeme integrál vzhledem k μ na množině A⊂X vztahem
∫Aϕdμ=∫Aϕ(x)dμ(x)≔∫χAϕdμ.
Definice Nechť f∈ℒ+. Potom integrál f vzhledem k μ je
∫fdμ≔sup{∫ϕdμ|ϕ∈ℒ+je jednoduchá,ϕ≤f}.
Také definujeme integrál vzhledem k μ na množině A⊂X vztahem
∫Afdμ≔sup{∫Aϕdμ|ϕ∈ℒ+je jednoduchá,ϕ≤f}.
Definice Nechť f:X→ℂ je měřitelná funkce. Potom integrál f vzhledem k μ je
∫fdμ≔∫(ℜf)+dμ−∫(ℜf)−dμ+i(∫(ℑf)+dμ−∫(ℑf)−dμ),
má-li výraz smysl. Také definujeme integrál vzhledem k μ na měřitelné množině E∈ℳ vztahem
∫Efdμ≔∫fχEdμ.
Je-li ∫|f|dμ<∞, funkci nazýváme integrabilní a značíme f∈ℒ=ℒ(X,ℳ,μ).
Definice Je-li x∈X,y∈Y, potom x-řez a y-řez množiny E⊂X×Y jsou
Ex≔{y∈Y|(x,y)∈E},Ey≔{x∈X|(x,y)∈E}.
Věta Tonelli Nechť míry μ,ν jsou σ-konečné. Je-li f∈ℒ+(X×Y,ℳ⊗𝒩︀), potom platí:
(∀x∈X)(f(x,⋅)∈ℒ+(Y,𝒩︀)),(∀y∈Y)(f(⋅,y)∈ℒ+(X,ℳ)),
∫f(⋅,y)dν(y)∈ℒ+(X,ℳ),∫f(x,⋅)dμ(x)∈ℒ+(Y,𝒩︀),
∫fd(μ⊗ν)=∫X∫Yf(x,y)dν(y)dμ(x)=∫Y∫Xf(x,y)dμ(x)dν(y).
Věta Fubini Nechť míry μ,ν jsou σ-konečné. Je-li f∈L(X×Y,ℳ⊗𝒩︀), potom platí:
(∀x∈X)(f(x,⋅)∈L(Y,𝒩︀)),(∀y∈Y)(f(⋅,y)∈L(X,ℳ)),
∫f(⋅,y)dν(y)∈L(X,ℳ),∫f(x,⋅)dμ(x)∈L(Y,𝒩︀),
∫fd(μ⊗ν)=∫X∫Yf(x,y)dν(y)dμ(x)=∫Y∫Xf(x,y)dμ(x)dν(y).
Věta o substituci Nechť m značí Lebesgueovu míru, Ω⊂ℝn je otevřená množina a ϕ:Ω→ℝn je difeomorfismus.
  1. Je-li f lebesgueovsky měřitelná na ϕ(Ω), potom je f∘ϕ lebesgueovsky měřitelná na Ω. Pokud navíc f≥0 nebo f∈L(ϕ(Ω),m), potom
    ∫ϕ(Ω)f(x)dx=∫Ωf(ϕ(x))⋅|detDϕ(x)|dx.
  2. Je-li E⊂Ω,E∈ℒn, potom ϕ(E)∈ℒn a m(ϕ(E))=∫E|detDϕ(x)|dx.
10. Postačující podmínky garantující záměnu Lebesgueova integrálu a řady. Věty o záměně limity a integrálu a záměně derivace a integrálu (pro funkci závislou na parametru).
Věta Nechť (fn)∈ℒ+ω. Potom můžeme zaměnit integrál a sumáž:
∫∑n=1∞fndμ=∑n=1∞∫fndμ.
Věta Lebesgueova Nechť (fn) je posloupnost měřitelných μ-skoro všude definovaných funkcí a pro μ-skoro všechna x∈X existuje limn→∞fn. Pokud existuje integrabilní majoranta g∈L taková, že |fn|≤g μ-skoro všude pro všechna n∈ℕ, potom můžeme zaměnit integrál a limitu:
∫limn→∞fndμ=limn→∞∫fndμ.
Věta Nechť (fn) je posloupnost měřitelných μ-skoro všude definovaných funkcí a ∑n=1∞∫|fn|dμ<∞. Potom můžeme zaměnit integrál a sumáž:
∫∑n=1∞fndμ=∑n=1∞∫fndμ.
Věta o limitě Nechť a,b∈ℝ,a<b,t0∈(a,b),f:X×(a,b)→ℂ a platí:
  1. f(⋅,t) je měřitelná pro každé t∈(a,b),
  2. limt→t0f(x,t) existuje pro μ-skoro všechna x∈X,
  3. existuje integrabilní majoranta g∈L taková, že
    (∀μx∈X)(∀t∈(a,b))(|f(x,t)|≤g(x)).
Potom můžeme zaměnit integrál a limitu:
limt→t0∫f(x,t)dμ(x)=∫limt→t0f(x,t)dμ(x).
Věta o derivaci Nechť a,b∈ℝ,a<b,f:X×(a,b)→ℂ a platí:
  1. f(⋅,t) je integrabilní pro každé t∈(a,b),
  2. ∂tf(x,t) existuje pro μ-skoro všechna x∈X,
  3. existuje integrabilní majoranta g∈L taková, že
    (∀μx∈X)(∀t∈(a,b))(|∂tf(x,t)|≤g(x)).
Potom můžeme zaměnit integrál a derivaci:
∂t∫f(x,t)dμ(x)=∫∂tf(x,t)dμ(x).
11. Derivace funkce podle komplexní proměnné, holomorfní funkce a Cauchy-Riemannovy rovnice, křivkový integrál v ℂ, index bodu vzhledem ke křivce, Goursatova věta a Cauchyův vzorec pro konvexní množniy, analytické funkce a jejich vztah k holomorfním funkcím.
Obecný předpoklad Nechť Ω⊂ℂ je neprázdná otevřená množina.
Definice Funkce f:Ω→ℂ má derivaci podle komplexní proměnné v bodě z0∈Ω, pokud existuje limita
f′(z0)≔limz→z0f(z)−f(z0)z−z0.
Má-li f derivaci pro všechna z0∈Ω, potom je holomorfní. Značíme f∈H(Ω).
Věta Cauchy-Riemannovy rovnice Nechť f:Ω→ℂ,x0,y0∈ℝ,z0≔x0+iy0. Definujme funkci f~:ℝ2→ℝ2,
f~(x,y)≔(ℜf(x+iy),ℑf(x+iy)).
Potom f′(z0) existuje právě tehdy, pokud existuje df~(x0,y0) a platí
∂1f~1(x0,y0)=∂2f~2(x0,y0),∂2f~1(x0,y0)=−∂1f~2(x0,y0).
V takovém případě je f′(z0)=∂1f~1(x0,y0)+i∂2f~2(x0,y0).
Definice Nechť γ:[α,β]→ℂ je regulární křivka a f∈𝒞︀(⟨γ⟩). Potom křivkový integrál f podle γ je
∫γf≔∫γf(z)dz≔∫αβf(γ(t))⋅γ′(t)dt.
Definice Nechť γ:[α,β]→ℂ je regulární křivka a z∈ℂ∖⟨γ⟩. Potom index bodu z vzhledem ke křivce γ je
indγ(z)≔12πi∫γdzζ−z.
Věta Goursat Nechť f∈H(Ω) a △=△(a,b,c)⊂Ω. Potom ∫∂△f=0.
Věta Cauchyův vzorec pro konvexní množiny Nechť Ω je konvexní, f∈H(Ω) a γ:[α,β]→Ω je regulární uzavřená křivka. Potom pro každé z∈Ω∖⟨γ⟩ platí
12πi∫γf(ζ)ζ−zdζ=indγ(z)⋅f(z).
Definice Funkce f:Ω→ℂ je analytická na Ω, pokud pro každé a∈Ω existuje r∈ℝ+ takové, že D(a,r)⊂Ω a f lze na D(a,r) vyjádřit jako konvergentní mocninnou řadu se středem v a.
Věta Funkce f:Ω→ℂ je analytická, právě když je holomorfní.
12. Kořeny a izolované singularity holomorfních funkcí, typy singularit, Laurentovy řady a jejich konvergence, věta o rozvoji holomorfní funkce do Laurentovy řady, Laurentova řada holomorfní funkce na okolí izolované singularity, Liouvilleova věta.
Definice Kořen holomorfní funkce f∈H(Ω) je číslo a∈Ω takové, že f(a)=0. Množinu všech kořenů značíme 𝒵︀(f). Násobnost kořene je m∈ℕ0 takové, že můžeme psát f(z)=(z−a)m⋅g(z), kde g∈H(Ω),g(a)≠0.
Věta Je-li Ω oblast a f∈H(Ω), potom buď f=0, nebo 𝒵︀(f) nemá hromadný bod.
Definice Je-li Ω oblast a f∈H(Ω∖{a}), f má v a izolovanou singularitu. Je-li možné funkci dodefinovat v a tak, aby byla holomorfní, jde o odstranitelnou singularitu. Je-li z↦f(z)−∑k=1mck(z−a)k∈H(Ω) pro nějaká c1,…,cm∈ℂ,cm≠0, f má v a pól řádu m. Je-li f(D′(a,r)) hustá podmnožina ℂ pro každé D(a,r)⊂Ω, f má v a podstatnou singularitu.
Věta Má-li f∈H(Ω) singularitu v a, potom
  • f má v a odstranitelnou singularitu, právě když limaf∈ℂ,
  • f má v a pól, právě když limaf=∞,
  • f má v a podstatnou singularitu, právě když limaf neexistuje.
Definice Laurentova řada se středem a∈ℂ a koeficienty (cn)∈ℂω je
∑n=−∞∞cn(z−a)n=∑n=1∞c−n(z−a)n⏟hlavní část+∑n=0∞cn(z−a)n⏟regulární část
Věta Laurentova řada se středem a∈ℂ a koeficienty (cn)∈ℂω konverguje lokálně stejnoměrně na P(a,1R−,R+) k holomorfní funkci, kde
R+≔poloměr konvergence∑n=0∞cnzn,
R−≔poloměr konvergence∑n=1∞c−nz+n.
Její koeficienty můžeme spočítat pomocí vzorce
cn=12πi∫γrf(z)(z−a)n+1dz,
kde γr(t)≔a+r⋅expit,t∈[0,2π] pro libovolné r∈(1R−,R+).
Věta Je-li f∈H(P(a,r1,r2)), potom ji lze jednoznačně vyjádřit jako Laurentovu řadu se středem v a. Speciálně je-li r1=0, tedy a je izolovaná singularita, potom
  • f má v a odstranitelnou singularitu, právě když ∀n∈ℤ−:cn=0,
  • f má v a pól, právě když cm≠0 a ∀n<m:cn=0,
  • f má v a podstatnou singularitu, právě když ∃∞n∈ℤ−:cn≠0.
Věta Liouville Je-li f∈H(ℂ) omezená, potom je konstantní.
13. Křivkový integrál v ℂ (zavedení), index bodu vzhledem ke křivce (definice), Cauchyova věta a Cauchyův vzorec (obecná formulace), homotopie a Cauchyova věta, reziduum holomorfní funkce v izolované singularitě (definice), reziduová věta
Definice Nechť γ:[α,β]→ℂ je regulární křivka a f∈𝒞︀(⟨γ⟩). Potom křivkový integrál f podle γ je
∫γf≔∫γf(z)dz≔∫αβf(γ(t))⋅γ′(t)dt.
Je-li Γ=(γ1,…,γn) soubor křivek, potom značíme
∫Γf≔∑j=1n∫γjf
Definice Nechť γ:[α,β]→ℂ je regulární křivka a z∈ℂ∖⟨γ⟩. Potom index bodu z vzhledem ke křivce γ je
indγ(z)≔12πi∫γdzζ−z.
Je-li Γ=(γ1,…,γn) soubor křivek, potom značíme
indΓ(z)≔12πi∫Γdzζ−z=∑j=1nindγj(z).
Věta Cauchy Nechť Γ je soubor regulárních uzavřených křivek v Ω takový, že ∀a∈ℂ∖Ω:indΓ(a)=0. Nechť f∈H(Ω). Potom platí
  • ∫Γf=0(Cauchyova věta),
  • ∀z∈Ω∖⟨Γ⟩:12πi∫Γf(w)w−zdw=indΓ(z)⋅f(z)(Cauchyův vzorec).
Definice Uzavrené křivky γ0,γ1:[α,β]→Ω jsou homotopické v Ω, pokud existuje spojitá funkce H:[α,β]×[0,1]→Ω taková, že
  • ∀s∈[0,1]:H(α,s)=H(β,s),
  • ∀t∈[α,β]:H(t,0)=γ0(t),
  • ∀t∈[α,β]:H(t,1)=γ1(t).
Věta Jsou-li křivky γ0,γ1 homotopické v Ω, potom pro každé w∈ℂ∖Ω je indγ0(w)=indγ1(w).
Důsledek Jsou-li křivky γ0,γ1 homotopické v Ω, potom pro všechny f∈H(Ω) platí ∫γ0f=∫γ1f.
Definice Je-li f∈H(D′(a,r)), potom reziduum f v bodě a je koeficient c−1 její Laurentovy řady v a. Značíme resa(f).
Věta reziduová Nechť A⊂Ω nemá v Ω hromadný bod, f∈H(Ω∖A), Γ=(γ1,…,γn) je soubor regulárních uzavřených křivek v Ω∖A a pro všechna w∈ℂ∖Ω je indΓ(w)=0. Potom
∫Γf=2πi∑a∈AindΓ(a)⋅resa(f).
14. Lineární zobrazení a jeho matice, soustavy lineárních algebraických rovnic, Frobeniova věta.
Definice Nechť P,Q jsou vektorové prostory nad tělesem T. Zobrazení A:P→Q je lineární, pokud
  • ∀x→,y→∈P:A(x→+y→)=A(x→)+A(y→),
  • ∀α∈T,x→∈P:A(αx→)=αA(x→).
Definice Nechť P,Q jsou vektorové prostory nad tělesem T, 𝒳︀=(x→1,…,x→n) je báze P a 𝒴︀ je báze Q. Matice lineárního zobrazení A∈L(P,Q) v bázích 𝒳︀,𝒴︀ je A𝒴︀𝒳︀, kde (A𝒴︀𝒳︀)∘,j≔(Ax→j)𝒴︀.
Věta Nechť P,Q jsou vektorové prostory nad tělesem T, 𝒳︀=(x→1,…,x→n) je báze P, 𝒴︀ je báze Q a A∈ℒ(P,Q). Potom pro každé x→∈P je (Ax→)𝒴︀=A𝒴︀𝒳︀⋅x→𝒳︀.
Věta Frobeniova Nechť T je těleso, 𝐀∈Tm×n,b→∈Tm. Potom:
  • Soustava rovnic 𝐀⋅x→=b→ má řešení, právě když h(𝐀)=h(𝐀|b→).
  • Pro množinu řešení homogenní soustavy S0≔{x→∈Tm|𝐀⋅x→=0→} platí S0⋐Tn a dimS0=n−h(𝐀).
  • Je-li h(𝐀)=h(𝐀|b→), potom pro množinu řešení soustavy S={x→∈Tn|𝐀⋅x→=0→} platí S=a→+S0, kde a→ je nějaké partikulární řešení: 𝐀⋅a→=b→.
15. Hermitovské a kvadratické formy, polární báze, zákon setrvačnosti, matice kvadratické formy, kritéria pro určování charakteru formy.
Obecný předpoklad Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T⊂ℂ.
Definice Hermitovská (sesquilineární) forma je funkce h:V2→T splňující
  • Hermitovskost: (∀x→,y→∈V)(h(x→,y→)=h(y→,x→)¯).
  • Linearita v prvním argumentu: (∀x→,y→,z→,α∈T)(h(αx→+y→,z→)=αh(x→,z→)+h(y→,z→)) (definujeme to obráceně, než je obvyklá konvence; většinou je linearita ve druhém argumentu).
Její diagonála je funkce Q:V→T,Q(x→)≔h(x→,x→). Takové funkci říkáme kvadratická forma a h je její polára.
Definice Nechť h:V2→T je hermitovská forma. Báze 𝒜︀=(a→1,…,a→n) prostoru V je polární báze formy h, pokud pro i≠j je h(a→i,a→j)=0.
Věta Ke každé hermitovské formě v prostoru konečné dimenze existuje polární báze.
Definice Nechť Q je kvadratická forma a (a→1,…,a→n) je její polární báze. Potom její signatura je uspořádaná trojice sestávající z počtu kladných čísel, záporných čísel a nul v posloupnosti (Q(a→1),…,Q(a→n)).
Věta zákon setrvačnosti Signatura kvadratické formy nezávisí na volbě polární báze.
Definice Kvadratická forma Q je
  • pozitivně definitní, pokud (∀x→∈V,x→≠0→)(Q(x→)>0),
  • pozitivně semidefinitní, pokud (∀x→∈V)(Q(x→)≥0) a není pozitivně definitní (to se v obvyklém názvosloví nepožaduje),
  • negativně definitní, pokud (∀x→∈V,x→≠0→)(Q(x→)<0),
  • negativně semidefinitní, pokud (∀x→∈V)(Q(x→)≤0) a není negativně definitní (to se v obvyklém názvosloví nepožaduje),
  • indefinitní, pokud (∃x→1,x→2∈V)(Q(x1)>0∧Q(x2)<0).
Věta Nechť Q je kvadratická forma se signaturou (p,q,r). Potom
  • Q je pozitivně definitní, právě když p=n,q=0,r=0,
  • Q je pozitivně semidefinitní, právě když q=0,r≠0,
  • Q je negativně definitní, právě když p=0,q=n,r=0,
  • Q je negativně semidefinitní, právě když p=0,r≠0,
  • Q je indefinitní, právě když p≠0,q≠0.
Definice Nechť h je hermitovská forma, Q je její diagonála a 𝒳︀=(x→1,…,x→n) je báze V. Potom matice hermitovské formy h nebo kvadratické formy Q v bázi 𝒳︀ je Q𝒳︀, kde (Q𝒳︀)i,j≔h(x→i,x→j).
Věta Nechť h je hermitovská forma, Q je její diagonála a 𝒳︀=(x→1,…,x→n) je báze V. Potom můžeme hodnoty forem počítat jako
h(x→,y→)=x→𝒳︀T⋅Q𝒳︀⋅y→𝒳︀¯,
Q(x→)=x→𝒳︀T⋅Q𝒳︀⋅x→𝒳︀¯.
Věta Sylvesterovo kritérium Nechť Q je kvadratická forma a 𝒳︀ je báze V. Označme Δk k-tý hlavní subdeterminant matice Q𝒳︀. Potom
  • Q je pozitivně definitní, právě když (∀k∈n^)(Δk>0),
  • Q je negativně definitní, právě když (∀k∈n^)((−1)kΔk>0).
16. Skalární součin a norma, ortogonalita, nerovnosti, ortogonální doplněk.
Obecný předpoklad Nechť ℋ je vektorový prostor nad tělesem T⊂ℂ.
Definice Zobrazení ⟨⋅|⋅⟩:V2→T je skalární součin, pokud je to hermitovská forma s pozitivně definitní diagonálou. Jeho norma je zobrazení ‖⋅‖:V→T definované jako ‖x→‖≔⟨x→|x→⟩. Máme-li daný skalární součin, ℋ je pre-Hilbertův prostor.
Věta Cauchy-Schwarzova nerovnost Pro x→,y→∈ℋ platí |⟨x→|y→⟩|≤‖x→‖‖y→‖, přičemž rovnost nastává, právě když x→,y→ jsou lineárně závislé.
Věta trojúhelníková nerovnost Pro x→,y→∈ℋ platí ‖x→+y→‖≤‖x→‖+‖y→‖, přičemž rovnost nastává, právě když x→,y→ jsou lineárně závislé.
Definice Vektory x→1,…,x→n jsou ortogonální (kolmé), pokud pro každá i≠j je ⟨x→i|x→j⟩=0. Pokud navíc pro všechna i je ‖x→i‖=1, potom jsou ortonormální.
Věta Nenulové ortogonální vektory jsou lineárně nezávislé.
Věta Pythagorova Jsou-li x→,y→∈ℋ ortogonální, potom ‖x→+y→‖2=‖x→‖2+‖y→‖2.
Věta Každý pre-Hilbertův prostor ℋ má ortonormální bázi.
Věta Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost Nechť x→1,…,x→k∈ℋ jsou ortonormální. Potom pro x→∈ℋ platí
∑i=1k|⟨x→|x→i⟩|2≤‖x→‖2.
Navíc pokud (x→1,…,x→n) je báze ℋ, potom nastává rovnost.
Definice Ortogonální doplněk množiny M⊂ℋ,M≠∅ je
M⟂≔{x→∈ℋ|(∀y→∈M)(⟨x→|y→⟩=0)}.
17. Determinant matice a determinant operátoru.
Obecný předpoklad Nechť T je těleso.
Definice Determinant matice 𝐀∈Tn×n je číslo
det𝐀≔∑π∈𝕊nsgnπ⋅∏i=1n𝐀n,π(n).
Věta Determinant trojúhelníkové matice je součin prvků na její hlavní diagonále.
Věta změna determinantu při řádkových/sloupcových úpravách Nechť 𝐀∈Tn×n.
  • Vznikne-li 𝐁 vynásobením jednoho řádku nebo sloupce 𝐀 číslem α∈T, potom det𝐁=α⋅det𝐀.
  • Vznikne-li 𝐁 prohozením dvou řádků nebo sloupců 𝐀, potom det𝐁=−det𝐀.
  • Vznikne-li 𝐁 přičtením násobku jednoho řádku nebo sloupce 𝐀 k jinému, potom det𝐁=det𝐀.
Důsledek Determinant je antisymetrická n-lineární forma v řádcích/sloupcích matice.
Věta Matice je singulární, právě když její determinant je 0.
Věta Nechť 𝐀,𝐁∈Tn×n. Potom det(𝐀⋅𝐁)=det𝐀⋅det𝐁.
Důsledek Pro regulární matici 𝐀∈Tn×n je det𝐀−1=(det𝐀)−1.
Věta Obsah trojúhelníku s vrcholy a→,b→,c→∈ℝ2 je
S=12|det(111a→b→c→)|.
Věta Objem rovnoběžnostěnu určeného vektory a→,b→,c→∈ℝ3 je
V=|det(a→b→c→)|.
Věta rozvoj podle řádku/sloupce Nechť A∈Tn×n,n>1,i∈n^. Pro j∈n označme 𝐀(i,j) matici, která vznikne vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Potom platí
det𝐀=∑j=1n(−1)i+j𝐀i,jdet𝐀(i,j).
Analogicky pro sloupce.
Definice Nechť A∈Tn×n. Potom její adjungovaná matice je 𝐀adj definovaná jako
(𝐀adj)i,j≔(−1)i+jdet𝐀(j,i).
Věta Nechť A∈Tn×n. Potom 𝐀adj⋅𝐀=det𝐀⋅𝐈. Speciálně je-li 𝐀 regulární, potom 𝐀−1=(det𝐀)−1⋅𝐀adj.
Věta Cramerovo pravidlo Nechť A∈Tn×n je regulární, n>1 a b→∈Tn. Označme 𝐁(j) matici, která vznikne nahrazením j-tého sloupce 𝐀 vektorem b→. Potom pro řešení soustavy 𝐀x→=b→ platí
x→j=det𝐁(j)det𝐀.
Definice Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T s bází 𝒳︀ a A∈ℒ(V). Potom determinant zobrazení A je detA≔det(A𝒳︀).
Věta Hodnota determinantu lineárního zobrazení nezávisí na volbě báze.
18. Vlastní čísla a diagonalizovatelnost matic a operátorů.
Definice Číslo λ∈ℂ je vlastní číslo matice 𝐀∈ℂn×n, pokud pro nějaký nenulový vektor x→∈ℂn je 𝐀x→=λx→. x→ je potom vlastní vektor. Množina všech vlastních čísel matice je její spektrum, značeno σ(𝐀). Množina všech vlastních vektorů k danému vlastnímu číslu λ, společně s nulovým vektorem, je vlastní podprostor, značeno Pλ. Geometrická násobnost λ je νg(λ)≔dimPλ.
Definice Charakteristický polynom matice 𝐀∈ℂn×n je zobrazení p𝐀:ℂ→ℂ,p𝐀(t)≔det(𝐀−t𝐈).
Věta Je-li 𝐀∈ℂn×n, potom λ∈σ(𝐀), právě když p𝐀(λ)=0.
Věta Vlastní čísla trojúhelníkové matice jsou čísla na její hlavní diagonále.
Definice Nechť 𝐀∈ℂn×n. Algebraická násobnost vlastního čísla λ je jeho násobnost jako kořene p𝐀. Značíme νa(λ).
Věta Matice 𝐀∈ℂn×n je singulární, právě když 0∈σ(𝐀).
Věta Nechť 𝐀∈ℂn×n a λ∈σ(𝐀). Potom νa(λ)≥νg(λ).
Věta Nechť 𝐀∈ℂn×n. Prostor ℂn má bázi složenou z vlastních vektorů 𝐀, právě když pro všechna λ∈σ(𝐀) je νa(λ)=νg(λ).
Definice Matice 𝐀,𝐁∈ℂn×n jsou podobné, pokud 𝐀=𝐗𝐁𝐗−1 pro nějakou regulární matici 𝐗∈ℂn×n.
Věta Podobné matice mají stejné charakteristické polynomy, spektra, algebraické i geometrické násobnosti vlastních čísel a determinanty.
Definice Matice je diagonalizovatelná, pokud je podobná diagonální matici.
Věta Matice je diagonalizovatelná, právě když existuje báze z jejích vlastních vektorů, tedy pokud všechna její vlastní čísla mají stejnou algebraickou a geometrickou násobnost.
Obecný předpoklad Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T⊂ℂ.
Definice Číslo λ∈T je vlastní číslo operátoru A∈ℒ(V), pokud pro nějaký vektor x→∈V je Ax→=λx→. x→ je potom vlastní vektor. Množina všech vlastních čísel operátoru je jeho spektrum (ve skutečnosti bodové spektrum), značeno σ(A). Množina všech vlastních vektorů k danému vlastnímu číslu λ, společně s nulovým vektorem, je vlastní podprostor, značeno Pλ. Geometrická násobnost λ je νg(λ)≔dimPλ.
Definice Nechť 𝒳︀ je báze V. Charakteristický polynom operátoru A∈ℂn×n je charakteristický polynom matice A𝒳︀ (přičemž na volbě báze nezáleží).
Věta Je-li A∈ℒ(V), potom λ∈σ(𝐀), právě když p𝐀(λ)=0 a λ∈T.
Definice Nechť A∈ℒ(V). Algebraická násobnost vlastního čísla λ je jeho násobnost jako kořene p𝐀. Značíme νa(λ).
Věta Operátor A∈ℒ(V) je diagonalizovatelný, pokud existuje báze 𝒴︀ prostoru V taková, že A𝒴︀ je diagonální matice.
Věta Operátor je diagonalizovatelný, právě když existuje báze z jeho vlastních vektorů, tedy pokud všechny kořeny jeho charakteristického polynomu jsou z T a všechna jeho vlastní čísla mají stejnou algebraickou a geometrickou násobnost.
Věta Nechť A∈ℒ(V) je diagonalizovatelný a λ1,…,λk jsou jeho nenulová vlastní čísla. Potom A(V)=⨁i=1kPλi.
19. Rieszova věta, sdružený operátor. Normální, hermitovský a unitární operátor.
Obecný předpoklad Nechť ℋ je pre-Hilbertův prostor konečné dimenze nad tělesem T∈{ℂ,ℝ}.
Věta Rieszova Pro každý funkcionál φ∈ℋ# existuje právě jeden vektor y→∈ℋ takový, že pro všechna x→∈ℋ je φ(x→)=⟨x→|y→⟩.
Definice Sdružený operátor k operátoru A∈ℒ(ℋ) je operátor A*∈ℒ(ℋ) takový, že pro všechna x→,y→∈ℋ je ⟨Ax→|y→⟩=⟨x→|A*y→⟩.
Věta Každý operátor má právě jeden sdružený operátor.
Věta Nechř A∈ℒ(ℋ) a 𝒳︀ je ortonormální báze ℋ. Potom (A*)𝒳︀=(A𝒳︀)H.
Věta Nechř A∈ℒ(ℋ). Potom detA*=detA¯ a σ(A*)=σ(A)¯.
Definice Operátor A∈ℒ(ℋ) je
  • normální, pokud AA*=A*A,
  • hermitovský pro T=ℂ nebo symetrický pro T=ℝ, pokud A=A*,
  • unitární pro T=ℂ nebo ortogonální pro T=ℝ, pokud AA*=I.
Definice Matice 𝐀∈Tn×n je
  • normální, pokud 𝐀𝐀H=𝐀H𝐀,
  • hermitovská pro T=ℂ nebo symetrická pro T=ℝ, pokud 𝐀=𝐀H,
  • unitární pro T=ℂ nebo ortogonální pro T=ℝ, pokud 𝐀𝐀H=I.
Věta Operátor A∈ℒ(ℋ) je normální, právě když pro každé x→∈ℋ je ‖Ax→‖=‖A*x→‖.
Věta spektrální vlastnosti normálního operátoru Je-li A∈ℒ(ℋ) normální, potom
  • Je-li λ∈σ(A) a x→ je jeho vlastní vektor, potom je to také vlastní vektor k vlastnímu číslu λ¯ pro A*.
  • Vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou na sebe kolmé.
Věta Nechť T=ℂ. A∈ℒ(ℋ) je diagonalizovatelný, právě když je normální.
Věta charakterizace unitárních operátorů Nechť A∈ℒ(ℋ). Potom
AA*=I⟺(∀x→,y→∈ℋ)(⟨Ax→|Ay→⟩=⟨x→|y→⟩)⟺(∀x→∈ℋ)(‖Ax→‖=‖x→‖).
Věta vlastnosti unitárních operátorů Všechna vlastní čísla unitárního operátoru mají absolutní hodnotu 1, jeho determinant je 1 a složení dvou unitárních operátorů je unitární.
Věta vlastnosti hermitovských operátorů Nechť A je hermitovský operátor. Potom
  • (∀x→∈ℋ)(⟨Ax→|x→⟩∈ℝ),
  • σ(A)∈ℝ,
  • detA∈ℝ,
  • A(ℋ)=(kerA)⟂.

Obecná algebra a její aplikace

Studijní materiály
1. Relace, ekvivalence a rozklad množiny na třídy ekvivalence, uspořádání (úplné, dobré, svazové), princip transfinitní indukce.
Definice n-ární relace na neprázdných množinách M1,…,Mn je nějaká množina ℛ⊂⨉i=1nMi.
Definice Binární relace ℛ na množině M je
  • reflexivní, pokud ∀x∈M:(x,x)∈ℛ,
  • symetrická, pokud ∀x,y∈M:(x,y)∈ℛ⟹(y,x)∈ℛ,
  • tranzitivní, pokud ∀x,y,z∈M:(x,y)∈ℛ∧(y,z)∈ℛ⟹(x,z)∈ℛ,
  • antisymetrická, pokud ∀x,y∈M:(x,y)∈ℛ∧(y,x)∈ℛ⟹x=y,
  • dichotomická, pokud ∀x,y∈M:(x,y)∈ℛ∨(y,x)∈ℛ,
  • ekvivalence, pokud je reflexivní, symetrická a tranzitivní,
  • uspořádání, pokud je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní,
  • úplné uspořádání, pokud je uspořádání a dichotomická.
Definice Nechť ∼ je ekvivalence na M. Pro x,y∈M značíme x∼y⟺(x,y)∈∼. Třída ekvivalence prvku x∈M je [x]∼≔{y∈M|x∼y}.
Věta Nechť ∼ je ekvivalence na M a ρ≔{[x]∼|x∈M} je její faktormnožina. Potom ρ je rozklad M, tedy platí
  • ∀X,Y∈ρ:X=Y∨X∩Y=∅
  • ⋃ρ=M
Naopak každý rozklad se dá jednoznačně zapsat jako množina tříd nějaké ekvivalence.
Definice Nechť ≤ je uspořádání na M. Pro x,y∈M značíme x≤y⟺(x,y)∈≤ a x<y⟺x≤y∧x≠y. Prvek a∈M je nejmenší, pokud ∀b∈M:a≤b.
Definice Uspořádání na množině je dobré, pokud každá neprázdná podmnožina má nejmenší prvek.
Definice Uspořádání na množině je svazové, pokud každá dvouprvková množina má infimum a suprémum.
Věta Dobré uspořádání je úplné.
Definice Nechť (M,≤) je úplně uspořádaná množina a a∈M. Potom úsek M vzhledem k a je
Ma≔{b∈M|b<a}.
Věta princip transfinitní indukce Nechť (M,≤) je dobře uspořádaná množina a podmnožina A⊂M splňuje ∀a∈M:Ma⊂A⟹a∈A. Potom A=M.
2. Cyklické grupy a jejich klasifikace, podgrupy a generátory cyklických grup, konečně generované abelovské grupy.
Definice Grupa G je cyklická, pokud ∃a∈G:⟨a⟩=G.
Věta Cyklická grupa G je izomorfní ℤ (pokud |G|=∞) nebo ℤn (pokud |G|=n∈ℕ).
Věta Podgrupa cyklické grupy je cyklická.
Věta Nechť G=⟨a⟩ je cyklická grupa. Potom
  • Je-li |G|=∞, potom jediné generátory G jsou a,a−1.
  • Je-li |G|=n∈ℕ, potom aj je generátor G, právě když j⟂n.
Definice Torzní část abelovské grupy G je Gtor≔{a∈G||a|<∞}. Je-li Gtor={e}, potom G je grupa bez torze. Je-li Gtor=G, potom G je torzní grupa.
Věta Torzní část abelovské grupy je podgrupa.
Definice Nechť p∈ℙ. p-primární komponenta abelovské grupy G je G(p)≔{a∈G||a|=pj,j∈ℕ}.
Věta Primární komponenty konečné abelovské grupy jsou podgrupy.
Věta klasifikace konečně generovaných abelovských grup Nechť G je konečně generovaná abelovská grupa. Potom lze psát
G≃ℤn×⨉i=1kℤpiji
přičemž n∈ℕ je dáno jednoznačné, pi∈ℙ nemusí být různá a jsou dána jednoznačně až na pořadí.
3. Faktorizace grupy podle podgrupy, Lagrangeova věta, normální podgrupy, věty o izomorfismu.
Definice Nechť G je grupa a H její podgrupa. Zaveďme relace ekvivalence pro a,b∈G:
a∼Hb⟺ab−1∈H,
a∼Hb⟺a−1b∈H.
Potom definujeme:
G╱H≔{[a]∼H|a∈G}={Ha|a∈G},
H╲G≔{[a]∼H|a∈G}={aH|a∈G}.
Věta Lagrangeova Nechť G je konečná grupa a H její podgrupa. Potom
|G╱H|=|H╲G|=|G||H|.
Definice Podgrupa H grupy G je normální, pokud ∀a∈G:aH=Ha. Značíme H⊲G.
Věta Podgrupa H grupy G je normální, právě když ∼H je kongruence, tedy pro a,b,c,d∈G platí a∼Hc∧b∼Hd⟹ab∼Hcd.
Věta Je-li H⊲G, potom G╱H=H╲G je grupa. Nazýváme ji faktorgrupa G podle H.
Věta první o izomorfismu Nechť φ:G→G~ je izomorfismus grup. Potom G╱(kerφ)≃Imφ.
Věta druhá o izomorfismu Nechť G je grupa a H,K⊲G,H⊂K. Potom H⊲K, K╱H⊲G╱H a můžeme „krátit zlomky“:
(G╱H)╱(K╱H)≃G╱K.
Věta třetí o izomorfismu Nechť G je grupa, H⊲G a K je podgrupa G. Potom K∩H⊲K, H⊲HK a platí
K╱(K∩H)=HK╱H.
4. Okruhy, faktorizace okruhu podle ideálu, maximální ideály
Definice Okruh je množina R s dvěma binárními operacemi +,⋅ taková, že (R,+) je komutativní grupa, (R,⋅) je monoid a platí distributivní zákony:
∀a,b,c∈R:a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c,
∀a,b,c∈R:(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c.
Neutrální prvky operací +,⋅ značíme 0,1. Operaci inverze pro + značíme −. Je-li operace ⋅ komutativní, R je komutativní okruh.
Definice Nechť R je okruh. Množina I⊂R je ideál v R, pokud I−I⊂I (neboli je to aditivní podgrupa) a IR,RI⊂I (neboli je uzavřený na násobení z obou stran libovolným prvkem R).
Věta Je-li I ideál v okruhu R, potom R╱I (ve smyslu aditivní grupy) je okruh. Projekce π:R→R╱I,π(a)≔a+I je homomorfismus okruhů a platí kerπ=I,Imπ=R╱I.
Definice Ideál I v okruhu R je maximální, pokud je maximální vzhledem k inkluzi na množině ideálů různých od R.
Věta Je-li I ideál v nenulovém komutativním okruhu R, potom R╱I je těleso, právě pokud I je maximální v R.
Věta Nechť T je těleso. Ideál I=(f) v T[x] je maximální, právě když f je ireducibilní nad T.
5. Dělitelnost v oborech integrity; jednotky, ireducibilní prvek a prvočíslo, asociovanost. Gaussovy obory, obory hlavních ideálů, Eukleidovy obory.
Definice Nechť R je obor integrity.
  • Prvek a∈R dělí prvek b∈R, pokud ∃c∈R:b=ac. Značíme a|b.
  • Prvek a∈R je asociovaný s prvkem b∈R, pokud a|b∧b|a. Značíme a∼b.
  • Prvek a∈R je jednotka, pokud a∼1. Značíme a∈U(R).
  • Prvek a∈R∖{0}∖U(R) je ireducibilní, pokud platí
    ∀b,c∈R:a=bc⟹a∼b∨a∼c
  • Prvek a∈R∖{0}∖U(R) je prvočíslo, pokud platí
    ∀b,c∈R:a|bc⟹a|b∨a|c
Definice Obor integrity R je Gaussův, pokud se každé a∈R∖{0}∖U(R) dá zapsat jako součin a=∏i=1rbi, kde bi∈R jsou určena jednoznačně až na permutaci a násobení jednotkami.
Definice Obor integrity R je obor hlavních ideálů, pokud všechny ideály v R jsou hlavní.
Věta Obor hlavních ideálů je Gaussův.
Definice Obor integrity R je Eukleidův, pokud existuje zobrazení φ:R∖{0}→ℕ0 splňující
  • ∀a,b∈R∖{0}:b|a⟹φ(b)≤φ(a),
  • ∀a∈R,b∈R∖{0},∃d,r∈R:a=bd+r∧(r=0∨φ(r)<φ(b))
Věta Eukleidův obor je obor hlavních ideálů.
6. Tělesa, charakteristika tělesa, prvotěleso, konečná tělesa a jejich konstrukce.
Definice Nenulový komutativní okruh je těleso, pokud každý prvek má inverzi na násobení.
Věta Nenulový koutativní okruh je těleso, právě pokud má pouze nevlastní ideály.
Definice Prvotěleso tělesa je jeho minimální (ve smyslu inkluze) podtěleso.
Věta Prvotěleso je izomorfní ℚ, pokud charT=0, nebo ℤp, pokud charT=p∈ℙ.
Definice Je-li konečné těleso charakteristiky p∈ℙ, potom jeho řád je mocnina p.
Definice Těleso T je rozkladové nadtěleso tělesa S k polynomu f∈S[x], pokud
  • ∃a1,…,an∈T,c∈S:f=c⋅∏i=1n(x−ai),
  • T=S(a1,…,an).
Věta Pro každé těleso S a polynom f∈S[x] existuje rozkladové těleso určené jednoznačně až na izomorfismus.
Definice Galoisovo těleso řádu n=pk,p∈ℙ,k∈ℕ je rozkladové nadtěleso ℤp k polynomu xn−x. Značíme 𝔽n nebo GF(n).
Věta Galoisovo těleso 𝔽n má právě n prvků a je to jediné n-prvkové těleso až na izomorfismus.
Věta Multiplikativní grupa konečného tělesa je cyklická.
7. Lineární kódy, Hammingova mez. a) Definice lineárního kódu, kontrolní a generující matice, vztah mezi minimální vzdáleností lineárního kódu a lineární nezávislostí sloupců v kontrolní matici. b) Hammingova mez pro velikost binárního kódu dané délky a dané minimální vzdálenosti.
Definice Nechť A je konečná abeceda a M,n,d∈ℕ. Množina 𝒞︀⊂An je (M,n,d)-kód nad abecedou A, pokud |𝒞︀|=M a ∀u,v∈𝒞︀,u≠v:dist(u,v)≥d. Je-li A těleso a 𝒞︀⋐An, kód je lineární. Jeho generující matice G je matice, jejíž řádky jsou báze 𝒞︀. Jeho kontrolní matice je matice, jejíž řádky tvoří jádro G (tedy H⋅GT=0).
Věta Je-li 𝒞︀ lineární (M,n,d)-kód, potom d je nejmenší číslo takové, že existuje d lineárně nezávislých sloupců H. (To nemá nic společného s hodností!)
Věta Hammingova mez pro binární kód Nechť 𝒞︀ je (M,n,d)-kód nad abecedou {0,1} (ne nutně lineární.) Označme t≔⌊d−12⌋. Potom
M∑i=0t(ni)≤2n.
8. Standardní dekódování, systematické kódy. a) Definice syndromu a standardní tabulky, použití standardní tabulky k dekódování lineárního kódu. b) Definice systematického lineárního kódu, ekvivalence kódů.
Algoritmus standardní dekódování Nechť 𝒞︀⊂An je lineární kód. Přijmeme-li slovo x∈An, potom jako nejlepší odhad pro slovo, které bylo odesláno, zvolíme
x^≔arg minu∈𝒞︀dist(u,x).
Pokud je více možností, máme smůlu. Je-li přijaté slovo ve vzdálenosti nanejvýš t=⌊d−12⌋ od vyslaného slova, máme zaručeno, že ho dekódujeme správně.
Definice Nechť 𝒞︀⊂An je lineární kód. Syndrom slova x∈An je H⋅xT.
Definice Nechť 𝒞︀⊂An je lineární kód. Standardní tabulka je tabulka, jejíž řádky jsou dány množinou
{{x+v|v∈𝒞︀}|x∈An},
přičemž jako první řádek volíme 𝒞︀. Ekvivalentně, na každém řádku jsou slova se stejným syndromem.
Algoritmus dekódování pomocí standardní tabulky Přijmeme-li slovo x∈An, potom určíme jeho syndrom, podle toho najdeme řádek standardní tabulky, v němž leží, a odečteme od něj slovo nejmenší váhy ve stejném řádku, čímž získáme kódové slovo.
Definice Lineární kód 𝒞︀∈An dimenze k je systematický, pokud
∀α1,…,αk∈A,∃1αk+1,…,αn:α1⋯αn∈𝒞︀.
Definice Kódy 𝒞︀1,𝒞︀2 délky n jsou ekvivalentní, pokud existuje permutace π∈𝕊n taková, že
α1⋯αn∈𝒞︀1⟺απ(1)⋯απ(n)∈𝒞︀2.
Věta Každý lineární kód je ekvivalentní nějakému systematickému.
9. Levensteinova věta, Hadamardovy matice a optimální kódy. a) Definice Hadamardovy matice, konstrukce Hadamardových matic pomocí tenzorového součinu. b) Plotkinova mez a její těsnost díky Hadamardovým maticím (Levensteinova věta).
Definice Matice 𝐇∈{±1}n×n je Hadamardova, pokud 𝐇⋅𝐇T=n⋅𝐈, neboli každé dva řádky jsou kolmé.
Definice Tenzorový součin matic 𝐀∈ℝn×n,𝐁∈ℝs×s je
𝐀⊗𝐁≔(𝐀1,1𝐁⋯𝐀1,n𝐁⋮⋱⋮𝐀n,1𝐁⋯𝐀n,n𝐁).
Věta Tenzorový součin dvou Hadamardových matic je Hadamardova matice.
Definice Pro n,d∈ℕ označme A(n,d) maximální M takové, že existuje binární (M,n,d)-kód (ne nutně lineární).
Věta Plotkinova mez, Levensteinova rovnost Pro n,d∈ℕ platí
  • Je-li d sudé a 2d>n, potom A(n,d)≤2⌊d2d−n⌋.
  • Je-li d sudé a 2d=n, potom A(n,d)≤4d.
  • Je-li d liché a 2d+1>n, potom A(n,d)≤2⌊d+12d+1−n⌋.
  • Je-li d liché a 2d+1=n, potom A(n,d)≤4d+4.
Navíc pokud existují Hadamardovy matice vhodných velikostí, potom ve všech nerovnostech nastává rovnost.
10. Cyklické kódy, generující a kontrolní polynomy. a) Definice cyklického kódu a polynomiální reprezentace jeho kódových slov. b) Generující a kontrolní polynom cyklického kódu, rozklad polynomu xn−1 v konečných tělesech charakteristiky 2. c) Generující kořeny cyklického kódu, konstrukce binárních cyklických kódů liché délky.
Definice Lineární binární kód 𝒞︀ délky n je cyklický, pokud
∀w0⋯wn−1∈𝒞︀:w1⋯wn−1w0∈𝒞︀.
Kódová slova budeme reprezentovat jako prvky okruhu Z2[x]╱(xn−1). U prvků tohoto okruhu budeme používat formální proměnnou z, aby se nepletly s normálními polynomy.
Věta Je-li 𝒞︀ cyklický kód délky n a dimenze k, potom existuje polynom g∈𝒞︀ takový, že
  • 𝒞︀={a⋅g|a∈ℤ2[x]╱(xn−1)},
  • {zi⋅g|i=0,…,k−1} je báze 𝒞︀,
  • g|(xn−1).
Definice g z předchozí věty je generující polynom a h≔xn−1g je kontrolní polynom.
Definice Nechť b∈ℤ2[x]╱q, kde q je ireducibilní polynom. Potom minimální polynom prvku b je polynom f nejmenšího stupně s prvky ze ℤ2 takový, že f(b)=0.
Věta Nechť q∈ℤ2[x] je ireducibilní polynom stupně m. Potom každý prvek b∈ℤ2[x]╱q má jednoznačný minimální polynom a součin všech různých minimálních polynomů je x2m−x.
Věta Nechť b∈ℤ2[x]╱q, kde q je ireducibilní polynom, a k je nejmenší číslo takové, že b2k+1=b. Potom minimální polynom b je
f≔∏i=0k(x−b2i).
Algoritmus Nechť n je liché číslo. Potom cyklický kód délky n zkonstruujeme následovně:
  1. Najdeme m,r takové, že 2m−1=n⋅r.
  2. Najdeme ireducibilní polynom q stupně m.
  3. Najdeme α prvek řádu n v tělese ℤ2[x]╱q.
  4. Spočteme g jako součin minimálních polynomů k nějakým generujícím kořenům αi1,…,αis.
Potom g je generující polynom kódu 𝒞︀, který je určen vztahem
v∈𝒞︀⟺∀j∈s^:v(αij)=0.
11. Hammingovy a BCH kódy. a) Konstrukce a vlastnosti Hammingova binárního kódu. b) Konstrukce a vlastnosti binárních BCH kódů pro opravy dvojnásobných chyb.
Definice Nechť m∈ℕ. Potom (2,m)-Hammingův kód je lineární binární kód, jehož kontrolní matice má jako sloupce všechny nenulové vektory z {0,1}m.
Věta (2,m)-Hammingův kód je perfektní s parametry:
n=2m−1,M=2n−m,d=3.
Tedy dokážeme opravit jednu chybu.
Věta (2,m)-Hammingův kód je ekvivalentní cyklickému kódu s jedním generujícím kořenem α řádu n=2m−1. (Neplatí pro nebinární Hammingovy kódy!)
Definice BCH kód pro opravu dvojnásobných chyb je cyklický kód v tělese 𝔽2m≃ℤ2[x]╱q generovaný kořeny α,α3, kde α je prvek řádu n.
Věta Pro BCH kód je d≥5, tedy dokáže opravit dvě chyby. Místo standardní tabulky se dá dekódovat pomocí řešení kvadratické rovnice, což je výrazně rychlejší.