Termika a molekulová fyzika

Kalorimetrie

Teplota $θ$ nebo $T$ (jednotka K), popřípadě $ϑ$ (jednotka °C)

Teplo $Q$ (jednotka J)

Tepelná kapacita $K = \frac{d Q}{d ϑ}$

Měrná tepelná kapacita $c = \frac{K}{m}$

Molární/molekulové teplo $C = \frac{K}{n}$

Měrné skupenské teplo $l = \frac{Q}{m}$

Kalorimetrická rovnice $Q_{1} + Q_{2} = 0$ (znaménková konvence: dodané teplo kladné, odevzdané teplo záporné)

Teplotní roztažnost a rozpínavost

Délková roztažnost: $l \approx l_{0} (1 + α Δ ϑ)$ ; $α$ = teplotní součinitel délkové roztažnosti

Plošná roztažnost: $S \approx S_{0} (1 + δ Δ ϑ)$ ; $δ$ = teplotní součinitel plošné roztažnosti; $δ \approx 2 α$

Objemová roztažnost: $V \approx V_{0} (1 + β Δ ϑ)$ ; $β$ = teplotní součinitel objemové roztažnosti; $β \approx 3 α$

Rozpínavost plynu (u izochorického děje): $p \approx p_{0} (1 + γ_{V} Δ ϑ)$ ; $γ_{V}$ = teplotní součinitel rozpínavosti izochorického děje

Roztažnost plynu (u izobarického děje): $V \approx V_{0} (1 + β_{p} Δ ϑ)$ ; $β_{p}$ = teplotní součinitel roztažnosti izobarického děje

Pro ideální plyny $β_{p} = γ_{V} = \frac{1}{273.15} K$

Stacionární vedení tepla

\partial_{t} ϑ = 0

Součinitel tepelné vodivosti $λ$

Q = λ S \frac{Δ ϑ}{d} t

Hustota tepelného toku $φ = λ \frac{Δ ϑ}{d}$

Tepelný tok $q = S φ$

Tepelný odpor $R$

Q = \frac{1}{R} Δ ϑ t

Při sériovém propojení $R = R_{1} + R_{2}$

Při paralelním propojení $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$

Přestup tepla: koeficient přestupu tepla $α$

φ = α Δ ϑ

R = \frac{1}{α S}

Obecné vedení tepla

Máme homogenní izotropní (nezáleží na směru vedení tepla) látku

\frac{λ}{c ρ} \nabla^{2} ϑ = \frac{\partial ϑ}{\partial t} + \frac{P}{c ρ}

$P (\vec{r}, t)$ = měrný tepelný výkon

\vec{φ} = - λ \cdot \vec{\nabla} ϑ

Laplaceův operátor v cylindrických souřadnicích

\nabla^{2} f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial f}{\partial r}) + \underset{v \overset{ˇ}{e} t \overset{ˇ}{s} i n o u 0}{\underset{⏟}{\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}}}}

Jednodušší vzorec pro jednorozměrné vedení tepla

Q (r) = - λ S \frac{d ϑ}{d r} \cdot t

Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích

\nabla^{2} f = \underset{v \overset{ˇ}{e} t \overset{ˇ}{s} i n o u 0}{\underset{⏟}{\frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial f}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} f}{\partial φ^{2}}}} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial f}{\partial r})

Diferenciální formy

F : ℝ^{n} \to ℝ

{(\frac{\partial F}{\partial x_{j}})}_{x_{1}, \dots, x_{j - 1}, x_{j + 1}, \dots, x_{n}} = \lim_{h \to 0} \frac{F (x_{1}, \dots, x_{j} + h, \dots, x_{n}) - F (x_{1}, \dots, x_{j}, \dots, x_{n})}{h}

F : ℝ^{2} \to ℝ

d F |_{p} : {(ℝ^{2})}^{#}

d x = e_{1}^{#}, d y = e_{2}^{#}

d F |_{p} = {(\frac{\partial F}{\partial x})}_{y} (p) \cdot d x + {(\frac{\partial F}{\partial y})}_{x} (p) \cdot d y

d F : ℝ^{2} \to {(ℝ^{2})}^{#}

Diferenciální formy 1. řádu

Definice. Nechť

ω_{1}, \dots, ω_{n}

jsou funkce z nějakých podmnožin

ℝ^{n}

ℝ

. Diferenciální forma 1. řádu je funkce:

ω : ℝ^{n} \to {(ℝ^{n})}^{#}

ω (\vec{x}) = \sum_{i} ω_{i} (\vec{x}) d x_{i}

D_{ω} = ⋂_{i} D_{ω_{i}}

Definice. Diferenciální forma je exaktní, pokud platí

(\exists F : ℝ^{n} \to ℝ) (ω = d F)

Definice. Diferenciální forma je uzavřená, pokud platí

(j, k \in \hat{n}) (\frac{\partial ω_{j}}{\partial x_{k}} = \frac{\partial ω_{k}}{\partial x_{j}})

Věta. Je-li diferenciální forma exaktní, potom je uzavřená.

Definice.

M \subseteq ℝ^{n}

je souvislá množina, pokud libovolné dva body z

M

lze spojit křivkou v

M

Definice.

M \subseteq ℝ^{n}

je jednoduše souvislá množina, pokud každou uzavřenou křivku v

M

lze spojitě deformovat do bodu.

Věta. Je-li diferenciální forma uzavřená a její definiční obor je jednoduše souvislá množina, potom je exaktní.

Křivkový integrál

Definice. Nechť

φ : ⟨ a, b ⟩ \subseteq ℝ \to ℝ^{n}

. Potom

\int_{φ} ω = \int_{a}^{b} ω (φ (t)) (φ^{'} (t)) d t = \int_{a}^{b} \sum_{j} ω_{j} (φ (t)) φ_{j} (t) d t

Věta. Pro exaktní diferenciální formu platí:

\int_{φ} ω = \int_{a}^{b} d F (φ (t)) d t = F (φ (b)) - F (φ (a))

Řešení příkladů na jakobiány

5.1

\frac{\partial (z, x)}{\partial (y, x)} \cdot \frac{\partial (y, z)}{\partial (x, z)} \cdot \frac{\partial (x, y)}{\partial (z, y)} = \frac{\partial (z, x)}{\partial (x, z)} \cdot \frac{\partial (x, y)}{\partial (y, x)} \cdot \frac{\partial (y, z)}{\partial (z, y)} = (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) = - 1

5.2

$p$ jednoduše vyjádříme a zderivujeme podle $V$ . U $V$ to nebude tak jednoduché, protože se vyskytuje venku i v exponenciále, takže místo toho zderivujeme celou rovnici podle $Θ$ s $p$ konstantním a z toho vyjádříme $\frac{\partial V}{\partial Θ}$ , což bude vycházet strašně hnusně. A do třetice s $Θ$ bude ještě větší sranda.

Termodynamika

Věta (nultý princip termodynamiky). Systémy jsou v rovnováze, pokud mají stejnou teplotu.

Věta (první princip termodynamiky). Teplo je forma energie a celková energie se zachovává.

Věta (druhý princip termodynamiky). Teplo samovolně přechází z teplejší látky do chladnější.

Věta (třetí princip termodynamiky). Nejde dosáhnout absolutní nuly v konečně mnoha krocích.

Definice. Termodynamický systém je otevřený, pokud si vyměňuje částice s okolím, a uzavřený, pokud nemůže. Uzavřený může být izolovaný (nekoná práci a nevyměňuje si teplo) nebo adiabaticky izolovaný (nevyměňuje si teplo, ale může konat práci).

Stav systému se popisuje veličinami: $V, p, Θ$

Definice. Elementární práce je práce, kterou systém vykoná při infinitesimální změně objemu:

δ W = p \cdot d V

(značení

δ

se používá proto, že to nemusí být exaktní diferenciální forma)

Definice. Proces se označuje jako vratný/reversibilní, pokud lze počáteční stav získat z konečného stavu obrácením částí procesu, jinak je nevratný

Definice. Kvazistatický proces je proces, který probíhá dostatečně pomalu na to, aby v každém okamžiku platila tepelná rovnováha

Věta (první princip termodynamiky (integrální tvar)).

Q = Δ U + W

Věta (první princip termodynamiky (diferenciální tvar)).

δ Q = d U + δ W = d U + p d V

Definice. Tepelná kapacita konkrétního děje:

δ Q = n \cdot C \cdot d Θ

Definice. Ideální plyn je plyn, pro který platí stavová rovnice ideálního plynu

p V = n R Θ

, vnitřní energie závisí pouze na teplotě a molární tepelná kapacita nezávisí na teplotě.

Izochorický děj

Definice. Izochorický děj je děj, při kterém se nemění objem:

d V = 0

Věta. Při izochorickém ději se nekoná práce.

Důkaz.

δ W = p d V = 0

Věta.

{(\frac{\partial U}{\partial Θ})}_{V} = n C_{V}

Důkaz.

n C_{V} d Θ = {(\frac{\partial U}{\partial Θ})}_{V} d Θ + {(\frac{\partial U}{\partial V})}_{U} d V = {(\frac{\partial U}{\partial Θ})}_{V} d Θ

Věta. Pro ideální plyn je

{(\frac{d U}{d Θ})}_{V} = n C_{V}

Izobarický děj

Definice. Izobarický děj je děj, při kterém se nemění tlak:

d p = 0

Věta.

δ Q = n C_{p} d Θ

Věta. Pro ideální plyn je

p d V = n R d Θ

Důkaz. Zrerivujeme stavovou rovnici a aplikujeme

d p = 0

Věta (Mayerův vztah pro ideální plyn).

C_{p} = C_{V} + R

Věta.

W_{p} = p (V_{2} - V_{1})

Důkaz.

W_{p} = \int p d V = p \int_{V_{1}}^{V_{2}} d V = p (V_{2} - V_{1})

Izotermický děj

Definice. Izotermický děj je děj, při kterém se nemění teplota:

d Θ = 0

Věta. U ideálního plynu se při izotermickém ději nemění vnitřní energie.

Důkaz. Plyne z toho, že vnitřní energie závisí pouze na teplotě.

Věta. Pro ideální plyn platí

δ Q = δ W

Důkaz.

δ Q = d U + δ W = 0 + δ W

Věta. Pro ideální plyn platí

W = n R Θ \ln (\frac{V_{2}}{V_{1}})

Důkaz.

W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} p d V = \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{n R Θ}{V} d V = n R Θ \ln (\frac{V_{2}}{V_{1}})

Adiabatický děj

Věta. Pro ideální plyn je

p V^{ϰ} = konst.

Θ V^{ϰ - 1} = konst.

, kde

ϰ

je Poissonova konstanta.

Polytropický děj

Definice. Polytropický děj je děj, při kterém se nemění tepelná kapacita:

d C = 0

Věta. Pro ideální plyn je

p V^{N} = konst.

, kde

N

je stupeň polytropy;

1 < N < ϰ

Věta. Pro stupeň polytropy platí převodní vztahy:

N = \frac{C_{p} - C}{C_{V} - C}, C = C_{V} - \frac{R}{N - 1}

Věta. Je-li polytropický děj ideálního plynu zároveň

izochorický, potom $C = C_{V}, N = \infty$ ,
izobarický, potom $C = C_{p}, N = 0$ ,
izotermický, potom $C = \pm \infty, N = 1$ ,
adiabatický, potom $C = 0, N = ϰ$ .

Tepelné stroje

Definice. Kruhový déj je děj, jehož konečný stav je stejný jako počáteční stav.

Definice. Tepelný stroj je systém, který umožňuje plynu konat kruhový děj.

Definice. Účinnost tepelného stroje:

η = \frac{W}{Q_{in}} = 1 + \frac{Q_{out}}{Q_{in}} < 1

Entropie

Definice.

d S ≔ \frac{δ Q}{Θ}

Věta.

\lim_{Θ \to 0} S = S_{0} (n) = - n R \ln n + K n

Věta. Při adiabatickém ději se nemění entropie.

Důkaz.

d S = \frac{δ Q}{Θ} = \frac{0}{Θ} = 0

Věta.

S (n, Θ, V) = n C_{0} \ln Θ + n R \ln \frac{V}{n} + K n

Věta (tříhvězdičkový vztah).

{(\frac{\partial U}{\partial V})}_{Θ} = Θ {(\frac{\partial p}{\partial Θ})}_{V} - p

Maxwellovy vztahy

Věta.

{(\frac{\partial U}{\partial S})}_{V} = Θ

Věta.

{(\frac{\partial U}{\partial V})}_{S} = - p

Věta.

{(\frac{\partial U}{\partial S})}_{V} = Θ

Věta.

{(\frac{\partial U}{\partial V})}_{S} = - p

Definice (Legendreova transformace). Volná energie

F = U - Θ S

Věta.

d F = - S d Θ - p d V

Důkaz.

d F = d U - d (Θ S) = Θ d S - p d V - Θ d S - S d Θ = - S d Θ - p d V

Věta.

{(\frac{\partial F}{\partial Θ})}_{V} = - S

Věta.

{(\frac{\partial F}{\partial V})}_{Θ} = - p

Definice. Entalpie

H (S, p) = U + p V

Věta.

{(\frac{\partial H}{\partial S})}_{p} = Θ

Věta.

{(\frac{\partial H}{\partial p})}_{S} = V

Definice. Gibbsův potenciál

G = U - Θ S + p V = H - Θ S = F + p V

Věta.

{(\frac{\partial G}{\partial Θ})}_{p} = - S

Věta.

{(\frac{\partial G}{\partial p})}_{Θ} = V

Maxwellův čtverec

$- S$	$U$	$V$
$H$		$F$
$- p$	$G$	$Θ$

Začnu u veličiny, podle které derivuju, a jdu přes veličinu, kterou chci derivovat. Dostanu se k veličině, která má zůstat konstantní, a po dalším zabočení dostanu výsledek.

Good Physicists Have Studied Under Very Fine Teachers

Valid Facts and Theoretical Understanding Generate Solutions to Hard Problems

Maxwellův čtverec

$- S$	$U$	$V$
$H$		$F$
$- p$	$G$	$Θ$

Legenderovy transformace: např. $F = G - p V$ , $U = F + Θ S$

1. série vztahů: např. ${(\frac{\partial U}{\partial S})}_{V} = Θ$ , ${(\frac{\partial G}{\partial Θ})}_{p} = - S$

2. série vztahů: např. ${(\frac{\partial V}{\partial S})}_{p} = {(\frac{\partial Θ}{\partial p})}_{S}$ , ${(\frac{\partial V}{\partial Θ})}_{p} = - {(\frac{\partial S}{\partial p})}_{Θ}$

Van der Waalův plyn

Definice. Van der Waalsův plyn je model plynu, pro který platí

p = \frac{n R Θ}{V - b n} - \frac{a n^{2}}{V^{2}}

Věta. Pro van der Waalsův plyn platí (za předpokladu, že

C_{V}

nezávisí na

Θ

U = n C_{V} Θ - \frac{a n^{2}}{V} + U_{0}

Věta. Tvar adiabáty pro vdW plyn (za předpokladu, že

C_{V}

nezávisí na

Θ

Θ {(V - b n)}^{\frac{R}{C_{V}}} = konst.

Joule-Thompsonův pokus

Dva písty, mezi nimi přepážka, soustava je adiabaticky izolovaná, děj je izoentalpický

Zajímá nás změna teploty při posunutí pístů $Δ Θ = Θ_{2} - Θ_{1}$

Definice. Joule-Thompsonův koeficient:

μ_{J T} = {(\frac{\partial Θ}{\partial p})}_{H} = - \frac{1}{K_{p}} {(\frac{\partial H}{\partial p})}_{Θ}

Věta (něco jako tříhvězdičkový vztah).

{(\frac{\partial H}{\partial p})}_{Θ} = V - {(\frac{\partial V}{\partial Θ})}_{p}

Definice. Inverzní teplota je teplota

Θ_{i}

, při které je

{(\frac{\partial H}{\partial p})}_{Θ} = V - {(\frac{\partial V}{\partial Θ})}_{p} = 0 .

Věta.

$Δ Θ > 0 ⟺ Θ_{1} > Θ_{i}$
$Δ Θ < 0 ⟺ Θ_{1} < Θ_{i}$

Viriálový rozvoj

Definice. Molární objem:

V_{m} = \frac{V}{n}

Věta.

\frac{p V_{m}}{R Θ} = 1 + \frac{B (Θ)}{V_{m}} + \frac{C (Θ)}{V_{m}^{2}} + \dots

$B$ = druhý viriálový koeficient, $C$ = třetí viriálový koeficient

Statistika

Definice. Množina diskrétních jevů

Ω = {x_{1}, \dots, x_{n}}

Definice. Pravděpodobnost

i

-tého jevu z množiny je

p_{i}

splňující vlastnosti:

$(\forall i) (p_{i} \in ⟨ 0,1 ⟩)$
$\sum_{i} p_{i} = 1$

Definice. Střední hodnota funkce

g : Ω \to ℝ

⟨ g ⟩ = \sum_{i} g (x_{i}) p_{i}

Definice. Množina spojitých jevů

Ω \subseteq ℝ

Definice. Hustota pravděpodobnosti je funkce

w : Ω \to ℝ_{0}^{+}

splňující vlastnost:

\int_{Ω} w (x) d x = 1

Definice. Střední hodnota funkce

g : Ω \to ℝ

⟨ g ⟩ = \int_{Ω} g (x) \cdot w (x) d x

Definice.

V a r i a n c e

var (X) = ⟨ x^{2} ⟩ - {⟨ x ⟩}^{2}

Definice. Gaussovo normální rozdělení s parametry

σ, μ

Ω = ℝ

w (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp (- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}})

Věta. Gaussovo rozdělení je hustota pravděpodobnosti.

Důkaz.

I_{0} (a) ≔ \int_{ℝ} \exp (- a x^{2}) d x

\begin{aligned} I_{0} {(a)}^{2} & = \int_{ℝ} \exp (- a x^{2}) d x \int_{ℝ} \exp (- a y^{2}) d y \\ = \int_{ℝ^{2}} \exp (- a (x^{2} + y^{2})) d x d y \\ = \int_{0}^{2 π} d φ \int_{0}^{\infty} d r \exp (- a r^{2}) \cdot r \\ = \frac{2 π}{2 a} \int_{0}^{\infty} \exp (- t) d t \\ = \frac{π}{a} {[- \exp (- t)]}_{0}^{\infty} \\ = \frac{π}{a} \end{aligned}

I_{0} (a) = \sqrt{\frac{π}{a}}

Věta. Pro Gaussovo rozdělení platí

⟨ X ⟩ = μ

var (X) = σ

Definice. Eulerova gama funkce:

Γ (p) = \int_{0}^{\infty} t^{p - 1} \exp (- t) d t

Věta.

Γ (p + 1) = p \cdot Γ (p)

Věta.

(\forall n \in ℕ) (Γ (n + 1) = n!)

Věta.

Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π}

Maxwellovo rozdělení

Definice. Maxwellovo rozdělení:

ρ_{1} (v_{i}) = \sqrt{\frac{m}{2 π k_{B} Θ}} \exp (- \frac{m v_{j}^{2}}{2 k_{B} Θ})

ρ (\vec{v}) = ρ_{1} (v_{1}) ρ_{1} (v_{2}) ρ_{1} (v_{3}) = {(\frac{m}{2 π k_{B} Θ})}^{\frac{3}{2}} \exp (- \frac{m {\vec{v}}^{2}}{2 k_{B} Θ})

Cvičení. Při Maxwellovo rozdělení:

\begin{aligned} ⟨ v ⟩ & = \int_{0}^{\infty} ρ (v) \cdot v d v \\ = 4 π {(\frac{m}{2 π k_{B} Θ})}^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} v^{3} \exp (- \frac{m v^{2}}{2 k_{B} Θ}) \\ = 4 π {(\frac{m}{2 π k_{B} Θ})}^{\frac{3}{2}} \frac{2 k_{B} T^{2}}{m^{2}} Γ (2) \\ = \sqrt{\frac{8 k_{B} Θ}{π m}} \end{aligned}

Věta (Ekvipartiční teorém).

⟨ v^{2} ⟩ = \frac{3 k Θ}{m}

Termodynamika mechanických systémů

Mějme paramagnetikum dané veličinami $\vec{M}, \vec{H}, Θ$ (magnetizace, intenzita magnetického pole, teplota)

Věta (První princip termodynamiky pro paramagnetikum).

δ Q = d U - \vec{H} d \vec{M}

Věta (Curieův zákon).

\vec{M} = \frac{C \vec{H}}{Θ}

Cvičení (13.1). Nechť

U (Θ) = k_{\vec{M}} Θ + U_{0}

. Chceme zjistit

S (Θ, \vec{M})

Θ d S = δ Q = k_{\vec{M}} d Θ - \vec{H} d \vec{M}

d S = \frac{k_{\vec{M}}}{Θ} d Θ - \frac{\vec{H}}{Θ} d \vec{M} = \frac{k_{\vec{M}}}{Θ} d Θ - \frac{\vec{M}}{C} d \vec{M}

S = \dots

Věta (Tříhvězdičkový vztah pro izotropní paramagnetikum).

{(\frac{\partial U}{\partial M})}_{Θ} = H - Θ {(\frac{\partial H}{\partial Θ})}_{M}

Důkaz.

d S = \frac{1}{Θ} {(\frac{\partial U}{\partial Θ})}_{M} d Θ + \frac{1}{Θ} ({(\frac{\partial U}{\partial M})}_{Θ} - H) d M

⋮

Věta (Mayerův vztah pro ideální izotropní paramagnetikum).

K_{H} - K_{M} = - Θ {(\frac{\partial H}{\partial Θ})}_{M} {(\frac{\partial M}{\partial Θ})}_{H}